Номер 639, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

639. В четырехугольную пирамиду, все ребра которой одинаковы, вписана сфера. Плоскость, параллельная основанию, разделяет объем пирамиды в отношении 64 : 61. Найдите, в каком отношении эта плоскость разделяет сферу.

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны $a$. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Пусть $O$ — центр основания, $SO$ — высота пирамиды $H$.

1. Найдем высоту пирамиды $H$ и радиус вписанной сферы $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $A$ — вершина основания. $SA=a$ — боковое ребро. $AO$ — половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для $\triangle SOA$:

$H^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

$H = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Центр вписанной сферы $O_s$ лежит на высоте $SO$. Сфера касается основания в точке $O$ и боковых граней. Радиус сферы $r$ равен расстоянию от $O_s$ до основания и до любой боковой грани.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SM$ боковой грани $SCD$ (где $M$ — середина $CD$). В сечении получим равнобедренный треугольник $SNM$ (где $N$ — середина $AB$), а вписанная в пирамиду сфера будет представлена вписанной в этот треугольник окружностью с центром $O_s$ и радиусом $r$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ катет $OM = \frac{a}{2}$, катет $SO=H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, а гипотенуза $SM$ — апофема. $SM$ является высотой равностороннего треугольника $SCD$, поэтому $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Центр вписанной окружности $O_s$ лежит на пересечении биссектрис. Так как $\triangle SNM$ равнобедренный, $O_s$ лежит на высоте $SO$. Рассмотрим $\triangle SOM$. Биссектриса угла $\angle SMO$ пересекает катет $SO$ в точке $O_s$. По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{SO_s}{OO_s} = \frac{SM}{OM}$

Здесь $OO_s = r$ (радиус сферы), а $SO_s = H - r$.

$\frac{H-r}{r} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$

$H-r = r\sqrt{3} \implies H = r(1+\sqrt{3})$.

Отсюда выразим радиус $r$ через высоту $H$:

$r = \frac{H}{1+\sqrt{3}} = \frac{H(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{H(\sqrt{3}-1)}{2}$.

2. Найдем положение секущей плоскости.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную ей. Объемы этих пирамид относятся как куб коэффициента подобия (отношения их высот).

Плоскость делит объем пирамиды в отношении $64:61$. Это означает, что объем верхней, отсеченной пирамиды ($V_{top}$) и объем нижней части, усеченной пирамиды ($V_{frustum}$), относятся как $V_{top} : V_{frustum} = 64:61$.

Полный объем пирамиды $V_{total} = V_{top} + V_{frustum}$. Отношение объема верхней пирамиды к полному объему:

$\frac{V_{top}}{V_{total}} = \frac{64}{64+61} = \frac{64}{125}$.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $h$ — высота отсеченной пирамиды (от вершины $S$). Тогда:

$(\frac{h}{H})^3 = \frac{64}{125} = (\frac{4}{5})^3 \implies \frac{h}{H} = \frac{4}{5}$.

Высота секущей плоскости от основания пирамиды равна $H_{plane} = H - h = H - \frac{4}{5}H = \frac{H}{5}$.

3. Найдем, в каком отношении плоскость делит сферу.

Центр сферы находится на высоте $r$ от основания. Секущая плоскость находится на высоте $H/5$ от основания.

Сравним $r$ и $H/5$:

$r = \frac{H(\sqrt{3}-1)}{2} \approx \frac{H(1.732-1)}{2} = 0.366H$.

$H/5 = 0.2H$.

Так как $r > H/5$, секущая плоскость проходит ниже центра сферы.

Плоскость делит сферу на два шаровых сегмента. Найдем расстояние $d$ от центра сферы до секущей плоскости:

$d = r - H_{plane} = r - \frac{H}{5}$.

Подставим $H = r(1+\sqrt{3})$:

$d = r - \frac{r(1+\sqrt{3})}{5} = r(1 - \frac{1+\sqrt{3}}{5}) = r\frac{5-1-\sqrt{3}}{5} = r\frac{4-\sqrt{3}}{5}$.

Объем шарового сегмента выражается формулой $V_{seg} = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, где $h$ — высота сегмента, $R$ — радиус шара. В наших обозначениях $R=r$.

Нижний, меньший сегмент ($V_1$) имеет высоту $h_1 = r-d = r - r\frac{4-\sqrt{3}}{5} = r\frac{1+\sqrt{3}}{5}$.

Верхний, больший сегмент ($V_2$) имеет высоту $h_2 = r+d = r + r\frac{4-\sqrt{3}}{5} = r\frac{9-\sqrt{3}}{5}$.

Отношение объемов сегментов можно найти по формуле:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(r-d)^2(2r+d)}{(r+d)^2(2r-d)}$.

Подставим $d = r\frac{4-\sqrt{3}}{5}$:

$r-d = r\frac{1+\sqrt{3}}{5}$

$r+d = r\frac{9-\sqrt{3}}{5}$

$2r+d = 2r + r\frac{4-\sqrt{3}}{5} = r\frac{14-\sqrt{3}}{5}$

$2r-d = 2r - r\frac{4-\sqrt{3}}{5} = r\frac{6+\sqrt{3}}{5}$

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(r\frac{1+\sqrt{3}}{5})^2 (r\frac{14-\sqrt{3}}{5})}{(r\frac{9-\sqrt{3}}{5})^2 (r\frac{6+\sqrt{3}}{5})} = \frac{(1+\sqrt{3})^2(14-\sqrt{3})}{(9-\sqrt{3})^2(6+\sqrt{3})}$

Вычислим числитель и знаменатель:

$(1+\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{3}+3 = 4+2\sqrt{3}$.

Числитель: $(4+2\sqrt{3})(14-\sqrt{3}) = 56 - 4\sqrt{3} + 28\sqrt{3} - 6 = 50 + 24\sqrt{3}$.

$(9-\sqrt{3})^2 = 81-18\sqrt{3}+3 = 84-18\sqrt{3}$.

Знаменатель: $(84-18\sqrt{3})(6+\sqrt{3}) = 504 + 84\sqrt{3} - 108\sqrt{3} - 54 = 450 - 24\sqrt{3}$.

Искомое отношение:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{50+24\sqrt{3}}{450-24\sqrt{3}} = \frac{2(25+12\sqrt{3})}{6(75-4\sqrt{3})} = \frac{25+12\sqrt{3}}{3(75-4\sqrt{3})} = \frac{25+12\sqrt{3}}{225-12\sqrt{3}}$.

Это отношение объема нижнего сегмента к объему верхнего. Обычно, отношение частей дается в том же порядке, что и для пирамиды (верхняя часть к нижней). Верхний сегмент сферы больше нижнего, поэтому отношение верхней части к нижней будет обратным:

$\frac{V_{верх}}{V_{ниж}} = \frac{225-12\sqrt{3}}{25+12\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{225-12\sqrt{3}}{25+12\sqrt{3}}$