Номер 635, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

635. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписана сфера. Найдите, в каком отношении сфера разделяется линией касания.

Рассмотрим осевое сечение конуса. По условию, это равносторонний треугольник. Вписанная в конус сфера в этом сечении будет выглядеть как окружность, вписанная в этот треугольник. Линия касания сферы и боковой поверхности конуса — это окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Эта плоскость делит сферу на две части — два сферических сегмента. Требуется найти отношение площадей поверхностей этих сегментов.

Пусть $O$ — центр вписанной сферы, а $r$ — её радиус. Обозначим осевое сечение как равносторонний треугольник $ABC$ с вершиной $C$. Ось конуса совпадает с высотой, медианой и биссектрисой $CM$ этого треугольника. Центр $O$ лежит на оси $CM$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60°$. Биссектриса $CM$ делит угол $C$ пополам, поэтому угол между образующей $AC$ и осью конуса $CM$ составляет $\alpha = \angle ACM = 30°$.

Пусть $T$ — одна из точек касания сферы и образующей $AC$. Радиус сферы $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен образующей $AC$. Следовательно, треугольник $OTC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $T$.

В прямоугольном треугольнике $OTC$ мы знаем угол $\angle OCT = 30°$ и катет $OT = r$. Угол $\angle TOC$ можно найти как $90° - \angle OCT = 90° - 30° = 60°$.

Плоскость, в которой лежит окружность касания, перпендикулярна оси $CM$ и проходит через точку $T$. Расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости равно длине отрезка $OP$, где $P$ — проекция точки $T$ на ось $CM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OPT$ (прямой угол при $P$). Его гипотенуза $OT$ равна радиусу сферы $r$. Угол $\angle POT$ совпадает с углом $\angle TOC$ и равен $60°$. Длину катета $OP$ можно найти из соотношения:$OP = OT \cdot \cos(\angle POT) = r \cdot \cos(60°) = r \cdot \frac{1}{2} = \frac{r}{2}$.

Таким образом, плоскость касания находится на расстоянии $\frac{r}{2}$ от центра сферы. Эта плоскость делит сферу на два сферических сегмента. Высота меньшего сегмента равна $h_1 = r - OP = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}$. Высота большего сегмента равна $h_2 = r + OP = r + \frac{r}{2} = \frac{3r}{2}$.

Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$, где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота сегмента. В нашем случае $R = r$.

Площадь поверхности меньшего сегмента:$S_1 = 2\pi r h_1 = 2\pi r \left(\frac{r}{2}\right) = \pi r^2$.

Площадь поверхности большего сегмента:$S_2 = 2\pi r h_2 = 2\pi r \left(\frac{3r}{2}\right) = 3\pi r^2$.

Искомое отношение площадей поверхностей:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r^2}{3\pi r^2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1:3$.