Номер 630, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

630. Сфера с радиусом 29 см описана около цилиндра с боковой поверхностью $1680\pi \text{ см}^2$. Найдите объем цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, а объем — по формуле $V = \pi r^2 h$.

Из условия задачи известно, что площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 1680\pi$ см². Подставим это значение в формулу:

$2\pi rh = 1680\pi$

Разделив обе части на $2\pi$, получим соотношение между радиусом и высотой цилиндра:

$rh = 840$

Сфера описана около цилиндра, это означает, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. В сечении мы увидим прямоугольник (осевое сечение цилиндра) со сторонами $2r$ и $h$, который вписан в большую окружность сферы радиусом $R = 29$ см. Диагональ этого прямоугольника является диаметром сферы, то есть $2R$.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю, высотой и диаметром основания цилиндра:

$(2r)^2 + h^2 = (2R)^2$

Подставим известное значение $R=29$ см:

$4r^2 + h^2 = (2 \cdot 29)^2$

$4r^2 + h^2 = 58^2$

$4r^2 + h^2 = 3364$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $rh = 840$
2. $4r^2 + h^2 = 3364$

Из первого уравнения выразим $h$ через $r$: $h = \frac{840}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$4r^2 + \left(\frac{840}{r}\right)^2 = 3364$

$4r^2 + \frac{705600}{r^2} = 3364$

Умножим обе части уравнения на $r^2$, чтобы избавиться от знаменателя (так как $r \neq 0$):

$4r^4 + 705600 = 3364r^2$

$4r^4 - 3364r^2 + 705600 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$r^4 - 841r^2 + 176400 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $r$. Сделаем замену переменной $x = r^2$ (где $x>0$):

$x^2 - 841x + 176400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-841)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 176400 = 707281 - 705600 = 1681$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{841 - 41}{2} = \frac{800}{2} = 400$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{841 + 41}{2} = \frac{882}{2} = 441$

Оба корня положительны, что означает, что существуют два возможных набора размеров для цилиндра, удовлетворяющих условиям задачи. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1

Пусть $r^2 = 400$. Тогда радиус основания цилиндра $r = \sqrt{400} = 20$ см.

Найдем высоту цилиндра: $h = \frac{840}{r} = \frac{840}{20} = 42$ см.

Вычислим объем цилиндра для этих размеров:

$V_1 = \pi r^2 h = \pi \cdot 400 \cdot 42 = 16800\pi$ см³.

Случай 2

Пусть $r^2 = 441$. Тогда радиус основания цилиндра $r = \sqrt{441} = 21$ см.

Найдем высоту цилиндра: $h = \frac{840}{r} = \frac{840}{21} = 40$ см.

Вычислим объем цилиндра для этих размеров:

$V_2 = \pi r^2 h = \pi \cdot 441 \cdot 40 = 17640\pi$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объем цилиндра может быть равен $16800\pi$ см³ или $17640\pi$ см³.