Номер 634, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

634. Емкость состоит из цилиндра и двух сферических сегментов. Общая длина емкости 4 м, длина цилиндрической части — 3,5 м, ее диаметр — 1,2 м. С точностью до квадратного дециметра найдите площадь поверхности емкости.

Площадь поверхности емкости $S$ складывается из площади боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ и площадей двух одинаковых сферических сегментов $S_{сегм}$.

$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{сегм}$

Прежде всего, переведем все данные в дециметры, так как ответ требуется найти в квадратных дециметрах.

Общая длина емкости: $L_{общ} = 4 \text{ м} = 40 \text{ дм}$.
Длина цилиндрической части: $L_{цил} = 3,5 \text{ м} = 35 \text{ дм}$.
Диаметр емкости: $D = 1,2 \text{ м} = 12 \text{ дм}$.

Отсюда радиус цилиндра (и оснований сферических сегментов):
$r = D / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ дм}$.

1. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{цил} = 2\pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота (длина) цилиндра.

$S_{цил} = 2\pi \cdot 6 \cdot 35 = 420\pi \text{ дм}^2$.

2. Вычисление площади поверхности сферических сегментов

Сначала определим высоту одного сферического сегмента $h_{сегм}$. Так как сегмента два и они одинаковы, их общая длина равна разности общей длины емкости и длины цилиндрической части.

$h_{сегм} = (L_{общ} - L_{цил}) / 2 = (40 - 35) / 2 = 5 / 2 = 2,5 \text{ дм}$.

Площадь поверхности сферического сегмента (сферического пояса) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h_{сегм}$, где $R$ — радиус сферы, из которой получен сегмент. Найдем этот радиус $R$.

Для сферического сегмента существует зависимость между радиусом сферы $R$, радиусом основания сегмента $r$ и высотой сегмента $h_{сегм}$, которая выражается формулой: $R^2 = r^2 + (R - h_{сегм})^2$.

Подставим известные значения $r=6$ и $h_{сегм}=2,5$:

$R^2 = 6^2 + (R - 2,5)^2$
$R^2 = 36 + R^2 - 2 \cdot R \cdot 2,5 + (2,5)^2$
$R^2 = 36 + R^2 - 5R + 6,25$
$0 = 42,25 - 5R$
$5R = 42,25$
$R = 42,25 / 5 = 8,45 \text{ дм}$.

Теперь можем найти площадь поверхности одного сферического сегмента:

$S_{сегм} = 2\pi \cdot R \cdot h_{сегм} = 2\pi \cdot 8,45 \cdot 2,5 = 42,25\pi \text{ дм}^2$.

3. Вычисление общей площади поверхности емкости

Общая площадь поверхности равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и площадей двух сферических сегментов.

$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{сегм} = 420\pi + 2 \cdot 42,25\pi = 420\pi + 84,5\pi = 504,5\pi \text{ дм}^2$.

Для получения числового ответа, подставим значение $\pi \approx 3,14159$:

$S \approx 504,5 \cdot 3,14159 \approx 1584,9535 \text{ дм}^2$.

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до квадратного дециметра, то есть до целого числа.

$S \approx 1585 \text{ дм}^2$.

Ответ: $1585 \text{ дм}^2$.