Номер 637, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

637. В усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как $a : b$, вписана сфера (рис. 210). Найдите, в каком отношении сфера разделяется линией касания.

Рис. 210

Пусть $a$ и $b$ — радиусы оснований усеченного конуса, причем $a$ — радиус нижнего основания, а $b$ — радиус верхнего, как показано на рисунке ($a > b$). Пусть $R$ — радиус вписанной сферы. Линия касания сферы и боковой поверхности конуса представляет собой окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Эта плоскость делит сферу на два сферических сегмента. Нам нужно найти отношение их площадей.

Отношение площадей поверхностей двух сферических сегментов, на которые сфера делится плоскостью, равно отношению высот этих сегментов.

$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi R h_1}{2\pi R h_2} = \frac{h_1}{h_2} $

Наша задача сводится к нахождению высот $h_1$ и $h_2$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это будет равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2a$ и $2b$. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть $H = 2R$.

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, суммы его противоположных сторон должны быть равны. Если $l$ — образующая конуса (боковая сторона трапеции), то:

$ 2a + 2b = l + l = 2l $

Отсюда $l = a + b$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $l$, один катет — это высота трапеции $H=2R$, а второй катет равен разности радиусов оснований $a-b$.

По теореме Пифагора:

$ l^2 = H^2 + (a-b)^2 $

Подставим известные нам выражения для $l$ и $H$:

$ (a+b)^2 = (2R)^2 + (a-b)^2 $

$ a^2 + 2ab + b^2 = 4R^2 + a^2 - 2ab + b^2 $

$ 4ab = 4R^2 $

$ R^2 = ab \Rightarrow R = \sqrt{ab} $

Плоскость, в которой лежит линия касания, делит высоту сферы $2R$ на два отрезка $h_1$ и $h_2$. Найдем расстояние $d$ от центра сферы до этой плоскости. Тогда высоты сегментов будут равны $h_1 = R - d$ и $h_2 = R + d$ (или наоборот).

Поместим центр сферы в начало координат $O(0,0)$ в системе координат осевого сечения. Тогда ось конуса совпадает с осью $Oy$. Центры оснований трапеции будут в точках $(0, -R)$ и $(0, R)$. Вершины трапеции будут иметь координаты, например, $(a, -R)$ и $(b, R)$ для правой образующей.

Точка касания $T(x_T, y_T)$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = R^2$ и на образующей. Вектор радиуса $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен образующей.

Найдем $y$-координату точки касания, которая и будет равна искомому расстоянию $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $OT=R$, проведенным в точку касания на образующей, и проекциями. Угол $\alpha$, который образующая составляет с осью конуса, можно найти из прямоугольного треугольника с катетами $a-b$ и $2R$:

$ \sin \alpha = \frac{a-b}{l} = \frac{a-b}{a+b} $

Расстояние $d$ от центра сферы до плоскости касания (то есть $y$-координата точки касания) равно:

$ d = R \cdot \sin \alpha = R \frac{a-b}{a+b} $

Теперь найдем высоты сферических сегментов $h_1$ и $h_2$:

$ h_1 = R - d = R - R \frac{a-b}{a+b} = R \left( 1 - \frac{a-b}{a+b} \right) = R \frac{a+b-(a-b)}{a+b} = \frac{2bR}{a+b} $

$ h_2 = R + d = R + R \frac{a-b}{a+b} = R \left( 1 + \frac{a-b}{a+b} \right) = R \frac{a+b+a-b}{a+b} = \frac{2aR}{a+b} $

Искомое отношение площадей равно отношению высот:

$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{2bR}{a+b}}{\frac{2aR}{a+b}} = \frac{2bR}{2aR} = \frac{b}{a} $

Таким образом, сфера разделяется линией касания в отношении $b:a$.

Ответ: $b:a$