Номер 640, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

640. Сферический пояс задан радиусами своих оснований и высотой, которые соответственно равны 63 см, 39 см и 36 см. Найдите его поверхность.

Для решения задачи нам даны радиусы оснований сферического пояса $r_1 = 63$ см и $r_2 = 39$ см, а также его высота $h = 36$ см. Требуется найти площадь его боковой поверхности.

Площадь поверхности (боковой поверхности) сферического пояса вычисляется по формуле:

$S = 2 \pi R h$,

где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота пояса. В нашем случае высота $h$ известна, но неизвестен радиус сферы $R$. Найдем его.

Рассмотрим осевое сечение сферы, проходящее через ее центр перпендикулярно основаниям сферического пояса. В сечении мы получим круг радиуса $R$ и трапецию, боковые стороны которой являются частью окружности, а основания — хордами, равными диаметрам оснований пояса. Пусть $x_1$ и $x_2$ — расстояния от центра сферы до плоскостей оснований пояса. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем связать радиус сферы $R$ с радиусами оснований $r_1, r_2$ и расстояниями $x_1, x_2$:

$R^2 = r_1^2 + x_1^2$

$R^2 = r_2^2 + x_2^2$

Высота пояса $h$ равна расстоянию между плоскостями оснований. Так как основания находятся по одну сторону от центра сферы (что мы установим в ходе решения), то $h = |x_2 - x_1|$. Приравняем правые части уравнений для $R^2$:

$r_1^2 + x_1^2 = r_2^2 + x_2^2$

$x_2^2 - x_1^2 = r_1^2 - r_2^2$

Разложим разность квадратов:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) = (r_1 - r_2)(r_1 + r_2)$

Подставим известные значения $r_1=63$, $r_2=39$ и $h = x_2 - x_1 = 36$ (предполагая $x_2 > x_1$):

$36 \cdot (x_2 + x_1) = (63 - 39)(63 + 39)$

$36 \cdot (x_2 + x_1) = 24 \cdot 102$

$36 \cdot (x_2 + x_1) = 2448$

$x_2 + x_1 = \frac{2448}{36} = 68$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_2 - x_1 = 36 \\ x_2 + x_1 = 68 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$2x_2 = 104 \implies x_2 = 52$ см.

Вычтем первое уравнение из второго:

$2x_1 = 32 \implies x_1 = 16$ см.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ положительны, это подтверждает, что центр сферы находится вне сферического пояса.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$, подставив значения в любое из начальных уравнений:

$R^2 = r_1^2 + x_1^2 = 63^2 + 16^2 = 3969 + 256 = 4225$

$R = \sqrt{4225} = 65$ см.

Наконец, вычислим площадь поверхности сферического пояса:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 65 \cdot 36 = 130 \pi \cdot 36 = 4680 \pi$ см$^2$.

Ответ: $4680 \pi$ см$^2$.