Номер 628, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

628. Площадь осевого сечения цилиндра равна $240 \text{ см}^2$, а его полная поверхность – $290\pi \text{ см}^2$. Найдите радиус описанной сферы.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь этого сечения ($S_{осевое}$) по условию равна 240 см².
$S_{осевое} = 2r \cdot h = 240 \text{ см}^2$.
Из этого уравнения мы можем выразить произведение $rh$:
$rh = \frac{240}{2} = 120$.

Полная поверхность цилиндра ($S_{полн}$) складывается из площади двух оснований ($2 \cdot \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($2\pi rh$). По условию, она равна $290\pi$ см².
$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 290\pi$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$2r^2 + 2rh = 290$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $rh = 120$
2) $2r^2 + 2rh = 290$
Подставим значение $rh$ из первого уравнения во второе:
$2r^2 + 2(120) = 290$
$2r^2 + 240 = 290$
$2r^2 = 290 - 240$
$2r^2 = 50$
$r^2 = 25$
$r = 5 \text{ см}$ (так как радиус должен быть положительным).

Зная радиус, найдем высоту цилиндра:
$h = \frac{120}{r} = \frac{120}{5} = 24 \text{ см}$.

Сфера, описанная около цилиндра, имеет центр в середине высоты цилиндра. Диаметр описанной сферы равен диагонали осевого сечения цилиндра. Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Тогда ее диаметр равен $2R$.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному диагональю осевого сечения и его сторонами ($2r$ и $h$):
$(2R)^2 = (2r)^2 + h^2$
$4R^2 = 4r^2 + h^2$.
Подставим найденные значения $r = 5$ см и $h = 24$ см:
$4R^2 = 4 \cdot 5^2 + 24^2$
$4R^2 = 4 \cdot 25 + 576$
$4R^2 = 100 + 576$
$4R^2 = 676$
$R^2 = \frac{676}{4} = 169$
$R = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Ответ: 13 см.