Номер 622, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

622. Высота правильной четырехугольной пирамиды центром описанной сферы разделяется в отношении 2 : 1, ребро основания равно $a$ (рис. 206). Найдите:

а) радиус описанной около пирамиды сферы;

б) площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро основания и центр сферы.

Рис. 206

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD` с вершиной `S` и основанием `ABCD`. `SO` — высота пирамиды, `H = SO`. Сторона основания `AB = a`. Центр `O_сф` описанной сферы лежит на высоте пирамиды `SO`. По условию, центр `O_сф` делит высоту `SO` в отношении `2:1`, считая от вершины `S`. Это означает, что `SO_сф : O_сфO = 2 : 1`.

а) радиус описанной около пирамиды сферы;

Обозначим радиус описанной сферы как `R`. Все вершины пирамиды лежат на сфере, поэтому расстояние от центра сферы `O_сф` до любой вершины равно радиусу `R`.

В частности, `R = SO_сф` (расстояние до вершины `S`). Пусть `O_сфO = x`, тогда `SO_сф = 2x`. Таким образом, `R = 2x`, а вся высота пирамиды `H = SO = SO_сф + O_сфO = 2x + x = 3x`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `ΔO_сфOA`, где `A` — одна из вершин основания. Катеты этого треугольника: 1. `O_сфO = x` 2. `OA` — половина диагонали квадрата `ABCD`. Диагональ `AC = a\sqrt{2}`, следовательно, `OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}`.

Гипотенуза `O_сфA` также является радиусом сферы, `O_сфA = R`. По теореме Пифагора для `ΔO_сфOA`: `$R^2 = (O_сфO)^2 + (OA)^2$` Подставим известные выражения для `R`, `O_сфO` и `OA`: `$(2x)^2 = x^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$` `$4x^2 = x^2 + \frac{2a^2}{4}$` `$4x^2 = x^2 + \frac{a^2}{2}$` `$3x^2 = \frac{a^2}{2}$` `$x^2 = \frac{a^2}{6}$` `$x = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$`

Теперь найдем радиус `R`: `$R = 2x = 2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$`

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

б) площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро основания и центр сферы.

Пусть секущая плоскость проходит через ребро основания `CD` и центр сферы `O_сф`. Эта плоскость пересекает боковые грани `SAD` и `SBC`. Обозначим точки пересечения с ребрами `SA` и `SB` как `Q` и `P` соответственно. Полученное сечение — четырехугольник `CDQP`.

Поскольку `AB || CD`, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани `SAB` (прямая `QP`) будет параллельна линии пересечения с плоскостью основания (прямой `CD`). Таким образом, `QP || CD`, и сечение `CDQP` является трапецией. Из-за симметрии пирамиды трапеция является равнобокой.

Найдем длину верхнего основания `QP`. Для этого определим, в каком отношении плоскость делит боковые ребра. Можно показать (например, методом координат), что секущая плоскость пересекает ребра `SA` и `SB` ровно в их серединах. Следовательно, `QP` является средней линией треугольника `SAB`. `$QP = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$`

Теперь найдем высоту трапеции `h_{тр}`. Пусть `M` — середина `CD`, а `N` — середина `QP`. Высота трапеции — это длина отрезка `MN`. Найдем высоту `h_{тр}` как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катеты — это разность высот точек `M` и `N` и проекция отрезка `MN` на основание пирамиды.

Вертикальный катет: Точка `M` лежит в основании, ее высота равна 0. Точки `Q` и `P` — середины ребер `SA` и `SB`, поэтому их высота равна половине высоты пирамиды `H`. Точка `N` (середина `QP`) также имеет высоту `\frac{H}{2}`. Найдем `H`: `$H = 3x = 3 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$`. Высота точки `N` над основанием равна `$\frac{H}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$`.

Горизонтальный катет: Это проекция `MN` на плоскость основания. Пусть `O` — центр основания, `K` — середина `AB`. Проекция `M` — это сама точка `M`. Проекция `N` (обозначим `N'`) является серединой отрезка, соединяющего проекции точек `Q` и `P`. Проекции `Q` и `P` — это середины отрезков `OA` и `OB` соответственно. Следовательно, `N'` лежит на отрезке `OK` и делит его пополам. Расстояние `OM = \frac{a}{2}`. Расстояние `ON' = \frac{1}{2}OK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}`. Длина проекции `MN'` равна `OM + ON' = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}`.

По теореме Пифагора найдем высоту трапеции `h_{тр} = MN`: `$h_{тр}^2 = (\frac{3a}{4})^2 + (\frac{H}{2})^2 = (\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{6}}{4})^2$` `$h_{тр}^2 = \frac{9a^2}{16} + \frac{6a^2}{16} = \frac{15a^2}{16}$` `$h_{тр} = \sqrt{\frac{15a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{15}}{4}$`

Теперь вычислим площадь трапеции `S_{CDQP}`: `$S_{сеч} = \frac{CD + QP}{2} \cdot h_{тр} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4}$` `$S_{сеч} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{15}}{16}$`

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{15}}{16}$