Номер 629, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

629. Площадь основания цилиндра равна его боковой поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, учитывая, что описанная около него сфера имеет радиус $R$.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi r h$.

По условию задачи, площадь основания равна площади боковой поверхности: $S_{осн} = S_{бок}$
$\pi r^2 = 2\pi r h$

Разделив обе части уравнения на $\pi r$ (так как $r \neq 0$), получаем соотношение между радиусом и высотой цилиндра: $r = 2h$.

Поскольку цилиндр вписан в сферу радиусом $R$, то осевое сечение данной комбинации тел представляет собой прямоугольник (сечение цилиндра) со сторонами $2r$ и $h$, вписанный в окружность (сечение сферы) радиусом $R$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $r = 2h$: $R^2 = (2h)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$
$R^2 = 4h^2 + \frac{h^2}{4}$
$R^2 = \frac{16h^2 + h^2}{4}$
$R^2 = \frac{17h^2}{4}$

Отсюда выразим $h^2$ через $R^2$: $h^2 = \frac{4R^2}{17}$.

Нам нужно найти полную поверхность цилиндра $S_{полн}$. Она равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Так как по условию $S_{бок} = S_{осн}$, мы можем записать: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{осн} = 3S_{осн}$

Подставим формулу для площади основания: $S_{полн} = 3(\pi r^2) = 3\pi r^2$

Теперь выразим $r^2$ через $R^2$. Мы знаем, что $r = 2h$, следовательно, $r^2 = (2h)^2 = 4h^2$. Подставим сюда найденное выражение для $h^2$: $r^2 = 4 \cdot \frac{4R^2}{17} = \frac{16R^2}{17}$.

Наконец, подставим найденное значение $r^2$ в формулу для полной поверхности: $S_{полн} = 3\pi \left(\frac{16R^2}{17}\right) = \frac{48\pi R^2}{17}$.

Ответ: $\frac{48\pi R^2}{17}$.