Номер 623, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

623. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна ребру основания. Найдите, в каком отношении центр описанной сферы разделяет высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть сторона основания равна $a$. Высота пирамиды $SO$ (где $O$ — центр основания) по условию также равна $a$, то есть $H = SO = a$.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ — это точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. В силу симметрии правильной пирамиды, ее центр описанной сферы лежит на высоте $SO$.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Тогда расстояние от центра $O_{сф}$ до любой вершины равно $R$. В частности, $O_{сф}S = R$ и $O_{сф}A = R$.

Обозначим расстояние от центра сферы $O_{сф}$ до плоскости основания (то есть до точки $O$) как $x$. Таким образом, $OO_{сф} = x$. Тогда расстояние от вершины пирамиды $S$ до центра сферы $O_{сф}$ равно $SO_{сф} = SO - OO_{сф} = a - x$.

Из равенства $O_{сф}S = R$ получаем: $R = a - x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_{сф}A$. Его катеты — это $OO_{сф} = x$ и $OA$, а гипотенуза — $O_{сф}A = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = (OO_{сф})^2 + (OA)^2$.

Найдем длину отрезка $OA$. $OA$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Длина диагонали $AC$ находится по теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора для $\triangle OO_{сф}A$: $R^2 = x^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = x^2 + \frac{2a^2}{4} = x^2 + \frac{a^2}{2}$.

Мы получили систему уравнений:
1) $R = a - x$
2) $R^2 = x^2 + \frac{a^2}{2}$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе: $(a - x)^2 = x^2 + \frac{a^2}{2}$

Раскроем скобки и решим уравнение: $a^2 - 2ax + x^2 = x^2 + \frac{a^2}{2}$ $a^2 - 2ax = \frac{a^2}{2}$ $a^2 - \frac{a^2}{2} = 2ax$ $\frac{a^2}{2} = 2ax$

Поскольку $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $2a$: $x = \frac{a^2}{4a} = \frac{a}{4}$

Таким образом, центр сферы $O_{сф}$ делит высоту $SO$ на два отрезка. Длина отрезка от центра основания до центра сферы: $OO_{сф} = x = \frac{a}{4}$.

Длина отрезка от вершины до центра сферы: $SO_{сф} = a - x = a - \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$.

Найдем искомое отношение этих отрезков, считая от вершины $S$: $\frac{SO_{сф}}{OO_{сф}} = \frac{\frac{3a}{4}}{\frac{a}{4}} = \frac{3}{1}$

Ответ: 3:1.