Номер 620, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

620. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 18 см, а ребро основания — 16 см. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

Пусть $l$ — боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, $a$ — ребро ее основания, $h$ — высота пирамиды, а $R$ — радиус описанной около нее сферы. По условию задачи дано: $l = 18$ см, $a = 16$ см.

Для нахождения радиуса описанной сферы можно воспользоваться формулой $R = \frac{l^2}{2h}$. Для применения этой формулы сначала необходимо найти высоту пирамиды $h$.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды ($h$), боковое ребро ($l$) и половина диагонали основания ($\frac{d}{2}$) образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой.

Найдем длину диагонали $d$ основания со стороной $a=16$ см:$d = a\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали равна:$\frac{d}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$$h = \sqrt{l^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{18^2 - (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{324 - 128} = \sqrt{196} = 14$ см.

Подставим найденное значение высоты $h=14$ см и данное значение бокового ребра $l=18$ см в формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \frac{l^2}{2h} = \frac{18^2}{2 \cdot 14} = \frac{324}{28}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{324 \div 4}{28 \div 4} = \frac{81}{7}$ см.

Ответ: $\frac{81}{7}$ см.