Номер 618, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

618. Все боковые ребра пирамиды равны $a$, ее высота — $H$. Определите, при каком условии центр описанной около пирамиды сферы находится:

а) внутри пирамиды;

б) на поверхности пирамиды;

в) вне пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $P$ — центр окружности, описанной около её основания. Так как все боковые ребра пирамиды равны $a$, вершина $S$ проецируется в точку $P$. Высота пирамиды $SP$ равна $H$.

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, является точкой, равноудаленной от всех вершин пирамиды. Это означает, что центр $O$ должен лежать на прямой, содержащей высоту $SP$.

Пусть $A$ — любая вершина основания пирамиды. Тогда $SA=a$. Радиус окружности, описанной около основания, равен $PA = r$. Из прямоугольного треугольника $SPA$ по теореме Пифагора следует, что $SA^2 = SP^2 + PA^2$, то есть $a^2 = H^2 + r^2$.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Тогда $R = OS = OA$. Расположим начало координат в точке $P$ (центр основания), а ось $Oz$ направим вдоль высоты. Тогда вершина $S$ имеет координату $H$, а центр сферы $O$, лежащий на высоте, имеет некоторую координату $z$. Таким образом, $OS^2 = (H-z)^2$. Для любой вершины основания $A$, лежащей в плоскости $xy$, ее расстояние до центра $O$ определяется как $OA^2 = PA^2 + OP^2 = r^2 + z^2$.

Приравняем квадраты радиусов:$OS^2 = OA^2 \implies (H-z)^2 = r^2 + z^2$

$H^2 - 2Hz + z^2 = r^2 + z^2$

$H^2 - 2Hz = r^2$

Подставим в это уравнение выражение для $r^2$ из теоремы Пифагора ($r^2 = a^2 - H^2$):

$H^2 - 2Hz = a^2 - H^2$

$2H^2 - a^2 = 2Hz$

Отсюда находим координату $z$ центра сферы:$z = \frac{2H^2 - a^2}{2H}$

Положение центра сферы относительно пирамиды определяется значением $z$. Пирамида занимает пространство по оси $z$ от $0$ (основание) до $H$ (вершина).

а) внутри пирамиды;

Центр сферы находится внутри пирамиды, если он расположен на отрезке высоты $SP$ между основанием и вершиной, не совпадая с ними. Это соответствует условию $0 < z < H$.

Рассмотрим неравенство $z < H$:$\frac{2H^2 - a^2}{2H} < H \implies 2H^2 - a^2 < 2H^2 \implies -a^2 < 0$. Это неравенство всегда истинно, так как $a$ — длина ребра и $a > 0$.

Рассмотрим неравенство $z > 0$:$\frac{2H^2 - a^2}{2H} > 0$. Поскольку высота $H > 0$, это неравенство равносильно $2H^2 - a^2 > 0$, или $2H^2 > a^2$.

Таким образом, центр сферы находится внутри пирамиды, если выполняется условие $2H^2 > a^2$.

Ответ: $2H^2 > a^2$.

б) на поверхности пирамиды;

Центр сферы находится на поверхности пирамиды, если он совпадает с точкой на этой поверхности. Так как центр $O$ лежит на оси $SP$, он может совпасть только либо с центром основания $P$ (координата $z=0$), либо с вершиной $S$ (координата $z=H$).

Случай $z = 0$:$\frac{2H^2 - a^2}{2H} = 0 \implies 2H^2 - a^2 = 0 \implies 2H^2 = a^2$. В этом случае центр сферы находится в центре основания пирамиды.

Случай $z = H$:$\frac{2H^2 - a^2}{2H} = H \implies 2H^2 - a^2 = 2H^2 \implies -a^2 = 0$, что невозможно.

Следовательно, центр сферы лежит на поверхности пирамиды при условии $2H^2 = a^2$.

Ответ: $2H^2 = a^2$.

в) вне пирамиды.

Центр сферы находится вне пирамиды, если он лежит на прямой $SP$, но не на отрезке $SP$. Это соответствует условию $z < 0$ или $z > H$.

Как было показано в пункте (а), условие $z < H$ выполняется всегда, поэтому случай $z > H$ невозможен.

Рассмотрим условие $z < 0$:$\frac{2H^2 - a^2}{2H} < 0$. Так как $H > 0$, это неравенство эквивалентно $2H^2 - a^2 < 0$, или $2H^2 < a^2$.

В этом случае центр сферы находится на продолжении высоты за плоскость основания.

Ответ: $2H^2 < a^2$.