Номер 616, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

616. Все ребра четырехугольной пирамиды равны $a$. Найдите поверхность описанной около пирамиды сферы.

По условию, все ребра четырехугольной пирамиды равны $a$. Это означает, что в основании лежит четырехугольник, все стороны которого равны $a$ (ромб), и все боковые ребра также равны $a$. Так как боковые ребра равны, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Четырехугольник, около которого можно описать окружность, является вписанным. Ромб, который можно вписать в окружность, является квадратом. Следовательно, в основании пирамиды лежит квадрат со стороной $a$.

Итак, мы имеем правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$, где основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, и боковые ребра $SA=SB=SC=SD=a$.

Для нахождения площади поверхности описанной сферы $S_{сферы} = 4\pi R^2$, нам необходимо найти ее радиус $R$. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$:

• $SA = a$ и $SC = a$ (боковые ребра пирамиды).
• $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора, $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Проверим, является ли треугольник $SAC$ прямоугольным. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $AC^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$. $SA^2 + SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Поскольку $AC^2 = SA^2 + SC^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$.

Сфера, описанная около пирамиды, также является описанной и для любого сечения, проходящего через ее центр. В частности, она описана около треугольника $SAC$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В нашем случае гипотенуза — это $AC$, а ее середина — точка $O$, которая является центром квадрата $ABCD$.

Таким образом, центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. Радиус $R$ этой сферы равен расстоянию от центра $O$ до любой вершины, например, до вершины $A$. Это расстояние равно половине диагонали $AC$: $R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности сферы: $S_{сферы} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right) = 4\pi \frac{2a^2}{4} = 2\pi a^2$.

Ответ: $2\pi a^2$.