Номер 610, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

610. В сферу с радиусом 21 см вписана правильная четырехугольная призма высотой 14 см (рис. 204). Найдите площадь поверхности призмы.

Рис. 204

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Призма является правильной четырехугольной, значит, в её основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$, а высота призмы равна $H$.

Площадь основания: $S_{осн} = a^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 4aH$.

Таким образом, искомая площадь равна $S_{полн} = 4aH + 2a^2$.

По условию задачи, высота призмы $H = 14$ см, а радиус описанной около призмы сферы $R = 21$ см. Чтобы найти площадь поверхности, нам необходимо определить сторону основания $a$.

Все вершины вписанной призмы лежат на поверхности сферы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{H}{2})$ и половина диагонали основания призмы $(\frac{d}{2})$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. Центр сферы совпадает с центром призмы.

Половина диагонали основания $(\frac{d}{2})$ также является радиусом окружности, описанной около квадрата основания ($r_{осн}$). По теореме Пифагора:

$R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_{осн}^2$

Подставим известные значения:

$21^2 = (\frac{14}{2})^2 + r_{осн}^2$

$441 = 7^2 + r_{осн}^2$

$441 = 49 + r_{осн}^2$

$r_{осн}^2 = 441 - 49 = 392$

Диагональ квадрата со стороной $a$ связана с ней соотношением $d = a\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $r_{осн}$ равен половине диагонали:

$r_{осн} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Тогда:

$r_{осн}^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Приравняем полученные выражения для $r_{осн}^2$:

$\frac{a^2}{2} = 392$

Отсюда находим площадь основания призмы $S_{осн} = a^2$:

$a^2 = 392 \cdot 2 = 784$ см²

Теперь найдем длину стороны основания $a$:

$a = \sqrt{784} = 28$ см

Теперь у нас есть все данные для вычисления полной площади поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4aH = 4 \cdot 28 \cdot 14 = 112 \cdot 14 = 1568$ см²

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 1568 + 2 \cdot 784 = 1568 + 1568 = 3136$ см²

Ответ: $3136$ см².