Номер 604, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

604. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, основанием которой служит ромб с диагоналями 6 и 8; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна единице.

Для нахождения радиуса $r$ сферы, вписанной в пирамиду, воспользуемся формулой, связывающей его с объемом $V$ и площадью полной поверхности $S_{полн}$ пирамиды:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Для решения задачи нам необходимо последовательно вычислить объем и площадь полной поверхности данной пирамиды.

1. Вычисление объема пирамиды

Объем пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб с диагоналями $d_1 = 6$ и $d_2 = 8$. Его площадь равна половине произведения диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

Высота пирамиды по условию равна $H = 1$.

Тогда объем пирамиды составляет:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 1 = 8$

2. Вычисление площади полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания уже известна: $S_{осн} = 24$.

Поскольку высота пирамиды проходит через центр основания (точку пересечения диагоналей ромба), пирамида является прямой. Это означает, что все ее боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих четырех треугольников.

Для нахождения площади одной грани нам нужно знать длину стороны ромба $a$ и высоту боковой грани (апофему пирамиды) $h_a$.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого — половины диагоналей ($\frac{6}{2}=3$ и $\frac{8}{2}=4$), а гипотенуза — сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Теперь найдем апофему $h_a$. Апофема — это гипотенуза другого прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус окружности, вписанной в ромб, $h_r$.

Радиус $h_r$ вписанной в ромб окружности можно найти из формулы площади ромба $S_{осн} = p \cdot h_r$, где $p$ — полупериметр ромба.

Периметр ромба $P = 4a = 4 \cdot 5 = 20$. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = 10$.

Отсюда находим радиус вписанной окружности:

$h_r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{24}{10} = 2.4$

Теперь по теореме Пифагора находим апофему:

$h_a = \sqrt{H^2 + h_r^2} = \sqrt{1^2 + (2.4)^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6$

Площадь одной боковой грани равна:

$S_{грань} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.6 = 6.5$

Площадь всей боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грань} = 4 \cdot 6.5 = 26$

И, наконец, площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24 + 26 = 50$

3. Вычисление радиуса вписанной сферы

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления радиуса вписанной сферы. Подставим $V=8$ и $S_{полн}=50$ в исходную формулу:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 8}{50} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25} = 0.48$

Ответ: $0.48$.