Номер 627, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

627. В основании усеченной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, гипотенуза второго основания равна 4. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, учитывая, что высота пирамиды равна 3.

Обозначим параметры усеченной пирамиды.
Нижнее основание – это прямоугольный треугольник с катетами $a_1 = 3$ и $b_1 = 4$.
Верхнее основание – это треугольник, подобный нижнему, с гипотенузой $c_2 = 4$.
Высота пирамиды $H = 3$.

Сначала найдем характеристики оснований.
1. Нижнее основание.
Найдем гипотенузу $c_1$ по теореме Пифагора:
$c_1 = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности $r_1$ равен половине гипотенузы:
$r_1 = \frac{c_1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

2. Верхнее основание.
Так как верхнее основание является прямоугольным треугольником с гипотенузой $c_2 = 4$, радиус описанной около него окружности $r_2$ также равен половине гипотенузы:
$r_2 = \frac{c_2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной сферы. Центр сферы, описанной около усеченной пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной основаниям и проходящей через центры описанных около них окружностей ($O_1$ и $O_2$). Обозначим центр сферы как $O$.

Расстояние от центра сферы $O$ до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R$.
Пусть расстояние от центра сферы $O$ до плоскости нижнего основания равно $x$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания будет равно $H - x = 3 - x$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусами описанных окружностей оснований $r_1$ и $r_2$ (катеты) и расстояниями $x$ и $3-x$ (другие катеты). Мы можем составить систему уравнений на основе теоремы Пифагора:
$R^2 = r_1^2 + x^2$
$R^2 = r_2^2 + (3-x)^2$

Приравняем правые части уравнений:
$r_1^2 + x^2 = r_2^2 + (3-x)^2$
Подставим известные значения $r_1 = 2.5$ и $r_2 = 2$:
$(2.5)^2 + x^2 = 2^2 + (3-x)^2$
$6.25 + x^2 = 4 + 9 - 6x + x^2$
$6.25 = 13 - 6x$
$6x = 13 - 6.25$
$6x = 6.75$
$x = \frac{6.75}{6} = \frac{27/4}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Теперь найдем квадрат радиуса сферы $R^2$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$R^2 = r_1^2 + x^2 = (2.5)^2 + (\frac{9}{8})^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{9}{8})^2$
$R^2 = \frac{25}{4} + \frac{81}{64}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$R^2 = \frac{25 \cdot 16}{64} + \frac{81}{64} = \frac{400}{64} + \frac{81}{64} = \frac{481}{64}$

Отсюда радиус сферы $R$:
$R = \sqrt{\frac{481}{64}} = \frac{\sqrt{481}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{481}}{8}$