Номер 596, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

596. В сферу вписана правильная четырехугольная усеченная пирамида, основания которой находятся по одну сторону от центра. Радиус сферы равен $25 \text{ см}$, высота усеченной пирамиды равна $9 \text{ см}$, а площадь ее меньшего основания — $98 \text{ см}^2$. Найдите объем усеченной пирамиды.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

По условию задачи нам известны:

• радиус сферы $R = 25$ см;
• высота усеченной пирамиды $h = 9$ см;
• площадь меньшего основания $S_2 = 98$ см².

Необходимо найти площадь большего основания $S_1$.

Так как усеченная пирамида правильная четырехугольная, ее основаниями являются квадраты. Вершины пирамиды лежат на поверхности сферы. Ось пирамиды проходит через центр сферы.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через диагонали оснований пирамиды. В сечении получим равнобокую трапецию, вписанную в окружность большого круга сферы.

1. Найдем параметры меньшего основания.

Пусть $a_2$ — сторона меньшего основания (квадрата). Тогда его площадь $S_2 = a_2^2 = 98$. Радиус $r_2$ окружности, описанной около меньшего основания, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата равна $a_2\sqrt{2}$.

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{2}}{2}$

Площадь квадрата можно выразить через радиус описанной окружности: $S_2 = \frac{(2r_2)^2}{2} = 2r_2^2$.

$98 = 2r_2^2 \implies r_2^2 = 49 \implies r_2 = 7$ см.

2. Найдем расстояние от центра сферы до плоскостей оснований.

Пусть $O$ — центр сферы. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большего и меньшего оснований соответственно. Расстояния от центра сферы до плоскостей оснований обозначим как $d_1 = OO_1$ и $d_2 = OO_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом $r_2$ и расстоянием $d_2$. По теореме Пифагора:

$R^2 = d_2^2 + r_2^2$

$25^2 = d_2^2 + 7^2$

$625 = d_2^2 + 49$

$d_2^2 = 625 - 49 = 576$

$d_2 = \sqrt{576} = 24$ см.

По условию, основания находятся по одну сторону от центра сферы. Высота пирамиды $h$ равна разности расстояний от центра сферы до оснований: $h = d_2 - d_1$.

$9 = 24 - d_1 \implies d_1 = 24 - 9 = 15$ см.

3. Найдем параметры большего основания.

Аналогично, для большего основания радиус описанной окружности $r_1$ связан с расстоянием $d_1$ и радиусом сферы $R$:

$R^2 = d_1^2 + r_1^2$

$25^2 = 15^2 + r_1^2$

$625 = 225 + r_1^2$

$r_1^2 = 625 - 225 = 400$

$r_1 = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь большего основания $S_1$ равна $2r_1^2$:

$S_1 = 2 \cdot 400 = 800$ см².

4. Вычислим объем усеченной пирамиды.

Теперь у нас есть все необходимые значения: $h = 9$, $S_1 = 800$, $S_2 = 98$. Подставим их в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (800 + \sqrt{800 \cdot 98} + 98)$

$V = 3 \cdot (898 + \sqrt{78400})$

Найдем значение корня:

$\sqrt{78400} = \sqrt{784 \cdot 100} = \sqrt{28^2 \cdot 10^2} = 28 \cdot 10 = 280$.

Продолжим вычисление объема:

$V = 3 \cdot (898 + 280) = 3 \cdot 1178 = 3534$ см³.

Ответ: 3534 см³.