Номер 588, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

588. В пирамиде все боковые ребра равны по 9 дм, а ее высота равна 5 дм (рис. 198). Найдите радиус описанной сферы.

Рис. 198

Пусть $L$ — длина бокового ребра пирамиды, $H$ — ее высота, $R$ — радиус описанной сферы, $r$ — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Из условия задачи имеем: $L = 9$ дм, $H = 5$ дм.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центр описанной сферы также лежит на высоте пирамиды.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и одно из ее боковых ребер. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом описанной около основания окружности $r$ и боковым ребром $L$, которое является гипотенузой.

По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + r^2$

Подставим известные значения, чтобы найти $r^2$:$9^2 = 5^2 + r^2$$81 = 25 + r^2$$r^2 = 81 - 25 = 56$

Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра сферы до вершины пирамиды и до любой вершины основания равно радиусу сферы $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r$ окружности основания, отрезком высоты от центра сферы до плоскости основания и радиусом сферы $R$ (как гипотенузой). Длина отрезка высоты от центра сферы до плоскости основания равна $|H - R|$.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:$R^2 = r^2 + H^2 - 2HR + R^2$$0 = r^2 + H^2 - 2HR$$2HR = H^2 + r^2$

Как мы ранее установили, $L^2 = H^2 + r^2$. Подставим это выражение в наше уравнение:$2HR = L^2$

Отсюда выразим радиус описанной сферы $R$:$R = \frac{L^2}{2H}$

Подставим числовые значения из условия:$R = \frac{9^2}{2 \cdot 5} = \frac{81}{10} = 8,1$ дм.

Ответ: 8,1 дм.