Номер 581, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Рис. 196

581. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 вращается вокруг средней стороны (рис. 196). Найдите поверхность сферы, вписанной в полученное тело.

Тело, полученное при вращении треугольника со сторонами 5, 6 и 7 вокруг средней стороны (длиной 6), состоит из двух конусов с общим основанием. Ось вращения, совпадающая со стороной длиной 6, является общей осью симметрии для этих конусов, а две другие стороны треугольника (длиной 5 и 7) являются их образующими.

Сфера, вписанная в это тело, касается боковых поверхностей обоих конусов. Ее центр лежит на оси вращения. Осевое сечение данного тела представляет собой исходный треугольник. В этом сечении вписанная сфера выглядит как окружность, которая касается двух сторон треугольника (образующих конусов), а ее центр лежит на третьей стороне (оси вращения).

Обозначим вершины треугольника $A$, $B$, $C$ так, что осью вращения является сторона $AC = 6$, а длины двух других сторон равны $AB = 7$ и $BC = 5$. Пусть $O$ — центр вписанной сферы, а $r$ — ее радиус. Точка $O$ лежит на стороне $AC$.

Так как центр сферы $O$ равноудален от сторон $AB$ и $BC$ (расстояние до них равно радиусу $r$), точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. Следовательно, $O$ — точка пересечения биссектрисы угла $B$ со стороной $AC$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} = \frac{7}{5}$

Зная, что $AO + OC = AC = 6$, получаем систему уравнений. Выразим $AO$ через $OC$: $AO = \frac{7}{5}OC$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{7}{5}OC + OC = 6$

$\frac{12}{5}OC = 6$

$OC = \frac{6 \cdot 5}{12} = \frac{30}{12} = 2.5$

Тогда $AO = 6 - 2.5 = 3.5$.

Теперь найдем радиус сферы $r$. Для этого сначала вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$ по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Площадь треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

Площадь треугольника $ABC$ также равна сумме площадей треугольников $ABO$ и $CBO$. Эти треугольники имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$. Поэтому их площади относятся как длины их оснований $AO$ и $OC$. Площадь треугольника $ABO$ можно найти как:

$S_{ABO} = S \cdot \frac{AO}{AC} = 6\sqrt{6} \cdot \frac{3.5}{6} = 3.5\sqrt{6}$

С другой стороны, площадь треугольника $ABO$ можно выразить через сторону $AB$ и высоту, опущенную на нее из вершины $O$. Эта высота и есть искомый радиус $r$ вписанной сферы.

$S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$

$3.5\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot r$

$3.5\sqrt{6} = 3.5 \cdot r$

$r = \sqrt{6}$

Мы нашли радиус вписанной сферы. Теперь найдем площадь ее поверхности по формуле $S_{сферы} = 4\pi r^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (\sqrt{6})^2 = 4\pi \cdot 6 = 24\pi$

Ответ: $24\pi$