Номер 579, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

579. Сфера касается всех сторон ромба, стороны которого равны 15 см и 20 см. Найдите радиус сферы, учитывая, что ее центр отстоит от плоскости ромба на 8 см.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. Проекцию центра сферы на плоскость ромба обозначим как $O_p$. По условию, расстояние от центра сферы до плоскости ромба составляет $h = OO_p = 8$ см.

Так как сфера касается всех сторон ромба, ее центр $O$ равноудален от этих сторон. Это означает, что проекция центра сферы, точка $O_p$, будет равноудалена от сторон ромба в его плоскости. Следовательно, $O_p$ является центром окружности, вписанной в ромб, и совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_pK$, где $K$ - точка касания сферы со стороной ромба. В этом треугольнике:

• $OK$ - гипотенуза, равная радиусу сферы $R$.
• $OO_p$ - катет, равный расстоянию от центра сферы до плоскости ромба, $h=8$ см.
• $O_pK$ - катет, равный радиусу вписанной в ромб окружности, $r$.

По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$. Чтобы найти $R$, сначала нужно вычислить $r$.

В условии задачи сказано, что "стороны которого равны 15 см и 20 см", что является неточностью, так как у ромба все стороны равны. Правильнее считать, что это длины диагоналей ромба: $d_1 = 15$ см и $d_2 = 20$ см.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, по теореме Пифагора получаем:$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{15}{2})^2 + (\frac{20}{2})^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Радиус $r$ вписанной в ромб окружности можно найти через площадь ромба $S$. Площадь ромба через диагонали: $S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с радиусом вписанной окружности как $h_{ромба} = 2r$. Площадь также можно выразить как $S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$. Приравняем выражения для площади, чтобы найти $r$:$a \cdot 2r = 150$$12.5 \cdot 2r = 150$$25r = 150$$r = \frac{150}{25} = 6$ см.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$, используя найденное значение $r=6$ см и данное значение $h=8$ см:$R^2 = h^2 + r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ см$^2$.$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.