Номер 576, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

576. Сфера с радиусом 85 см проходит через вершину прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 24 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Обозначим радиус сферы как $R$, катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника обозначим как $d$.

По условию задачи, $R = 85$ см, $a = 10$ см, $b = 24$ см.

Поскольку сфера проходит через вершины треугольника, то эти вершины лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью треугольника. Эта окружность является описанной окружностью для данного треугольника.

1. Найдем радиус описанной окружности треугольника.

Для начала найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ см$^2$

$c = \sqrt{676} = 26$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности ($r$) равен половине длины гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Радиус сферы $R$, радиус описанной окружности $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты. Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $d$:

$d^2 = R^2 - r^2 = 85^2 - 13^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$d^2 = (85 - 13)(85 + 13) = 72 \cdot 98 = 7056$

$d = \sqrt{7056} = 84$ см.

Ответ: 84 см.