Номер 580, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

580. Сфера с радиусом 15 см касается всех сторон равнобедренной трапеции с основаниями 16 см и 36 см (рис. 195). Найдите расстояние от центра сферы до плоскости трапеции.

$16 \text{ см}$

$36 \text{ см}$

$15 \text{ см}$

Рис. 195

Пусть $O$ - центр сферы, $R$ - ее радиус, а $\alpha$ - плоскость, в которой лежит трапеция. Расстояние от центра сферы до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Обозначим это расстояние как $d$.

Поскольку сфера касается всех сторон трапеции, то проекция ее центра на плоскость трапеции (точка $K$) является центром окружности, вписанной в эту трапецию. Пусть $r$ - радиус этой вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, проведенным в точку касания $M$ на одной из сторон трапеции, радиусом вписанной окружности $r=KM$ и искомым расстоянием $d=OK$. Гипотенузой этого треугольника является радиус сферы $OM=R$, а катетами — расстояние $OK=d$ и радиус вписанной окружности $KM=r$. По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

По условию, радиус сферы $R = 15$ см. Чтобы найти $d$, нам необходимо вычислить радиус $r$ вписанной в трапецию окружности.

Дана равнобедренная трапеция с основаниями $a = 36$ см и $b = 16$ см. Свойство описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с боковыми сторонами $c$:
$a + b = c + c \Rightarrow 36 + 16 = 2c \Rightarrow 52 = 2c \Rightarrow c = 26$ см.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты: $r = h/2$. Найдем высоту $h$. Для этого проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, одним катетом — высота $h$, а другим катетом — отрезок, равный полуразности оснований:
$\frac{a - b}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:
$h^2 = c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$
$h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Наконец, подставляем известные значения $R$ и $r$ в формулу для искомого расстояния $d$:
$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.