Номер 577, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

577. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см (рис. 194). Найдите радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, учитывая, что ее центр отстоит от плоскости треугольника на 9 см.

Рис. 194

Пусть $R$ — искомый радиус сферы, $r$ — радиус окружности, описанной около данного треугольника, а $h$ — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Вершины треугольника лежат на сфере, значит, они лежат на сечении сферы плоскостью, которое является окружностью. Эта окружность является описанной около треугольника.

Радиус сферы $R$, радиус описанной окружности $r$ и расстояние $h$ от центра сферы до плоскости треугольника связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются $r$ и $h$, а гипотенузой — $R$:
$R^2 = r^2 + h^2$.

По условию, стороны треугольника $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см, а расстояние $h = 9$ см. Для нахождения $R$ необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$.

Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле:$r = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S$:
$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 7)^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

3. Теперь найдем радиус описанной окружности $r$:
$r = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{2730}{336}$
Сократим дробь: $\frac{2730 \div 42}{336 \div 42} = \frac{65}{8}$ см.

4. Наконец, найдем радиус сферы $R$, используя найденное значение $r$ и данное значение $h$:
$R^2 = r^2 + h^2 = (\frac{65}{8})^2 + 9^2 = \frac{65^2}{8^2} + 81 = \frac{4225}{64} + 81$
$R^2 = \frac{4225}{64} + \frac{81 \cdot 64}{64} = \frac{4225 + 5184}{64} = \frac{9409}{64}$
$R = \sqrt{\frac{9409}{64}} = \frac{\sqrt{9409}}{\sqrt{64}} = \frac{97}{8} = 12.125$ см.

Ответ: $12.125$ см.