Номер 570, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

570. Точка $M$ на сфере с радиусом 46 см является общим концом трех взаимно перпендикулярных хорд, длины которых относятся как $12 : 15 : 16$. Найдите длину каждой хорды.

Решение:

Пусть точка $M$ является началом трехмерной декартовой системы координат $M(0, 0, 0)$. Поскольку три хорды взаимно перпендикулярны, мы можем расположить их вдоль осей координат. Обозначим длины хорд как $L_1$, $L_2$ и $L_3$. Тогда концы хорд, отличные от точки $M$, будут иметь координаты $A(L_1, 0, 0)$, $B(0, L_2, 0)$ и $C(0, 0, L_3)$.

Все четыре точки $M, A, B, C$ лежат на сфере. Пусть центр сферы находится в точке $O(x_0, y_0, z_0)$, а радиус сферы равен $R = 46$ см. Уравнение сферы имеет вид:$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Подставим координаты каждой из четырех точек в это уравнение:
1. Для точки $M(0, 0, 0)$: $(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 \implies x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$.
2. Для точки $A(L_1, 0, 0)$: $(L_1 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 \implies (L_1 - x_0)^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$.
3. Для точки $B(0, L_2, 0)$: $(0 - x_0)^2 + (L_2 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 \implies x_0^2 + (L_2 - y_0)^2 + z_0^2 = R^2$.
4. Для точки $C(0, 0, L_3)$: $(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (L_3 - z_0)^2 = R^2 \implies x_0^2 + y_0^2 + (L_3 - z_0)^2 = R^2$.

Теперь упростим уравнения 2, 3 и 4, используя уравнение 1.
Из уравнения 2: $L_1^2 - 2L_1x_0 + x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$. Заменяя $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$ на $R^2$, получаем $L_1^2 - 2L_1x_0 + R^2 = R^2$, откуда $L_1^2 - 2L_1x_0 = 0$. Так как $L_1 \ne 0$, то $x_0 = \frac{L_1}{2}$.
Аналогично из уравнения 3 получаем $y_0 = \frac{L_2}{2}$.
И из уравнения 4 получаем $z_0 = \frac{L_3}{2}$.

Подставим найденные значения $x_0, y_0, z_0$ в первое уравнение:$(\frac{L_1}{2})^2 + (\frac{L_2}{2})^2 + (\frac{L_3}{2})^2 = R^2$$\frac{L_1^2}{4} + \frac{L_2^2}{4} + \frac{L_3^2}{4} = R^2$$L_1^2 + L_2^2 + L_3^2 = 4R^2$

По условию задачи, длины хорд относятся как $12 : 15 : 16$. Введем коэффициент пропорциональности $k$:$L_1 = 12k$, $L_2 = 15k$, $L_3 = 16k$. Подставим эти выражения в полученную формулу:$(12k)^2 + (15k)^2 + (16k)^2 = 4 \cdot 46^2$$144k^2 + 225k^2 + 256k^2 = 4 \cdot 2116$$625k^2 = 8464$$k^2 = \frac{8464}{625}$$k = \sqrt{\frac{8464}{625}} = \frac{92}{25}$

Теперь найдем длины каждой хорды:
$L_1 = 12k = 12 \cdot \frac{92}{25} = \frac{1104}{25} = 44,16$ см.
$L_2 = 15k = 15 \cdot \frac{92}{25} = 3 \cdot \frac{92}{5} = \frac{276}{5} = 55,2$ см.
$L_3 = 16k = 16 \cdot \frac{92}{25} = \frac{1472}{25} = 58,88$ см.
Ответ: длины хорд равны 44,16 см, 55,2 см и 58,88 см.