Номер 566, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

566. Найдите геометрическое место точек:

а) расстояние которых от данной точки $M$ равно $m$, а от данной плоскости равно $n$;

б) для которых сумма квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная;

в) являющихся центрами сфер с данным радиусом, проходящих через данную точку $A$ и касающихся данной плоскости.

а) расстояние которых от данной точки M равно m, а от данной плоскости равно n;

Пусть искомое геометрическое место точек (ГМТ) состоит из точек $X$. По условию, для любой такой точки $X$ должны выполняться два условия одновременно:

1. Расстояние от точки $X$ до данной точки $M$ равно $m$. Это означает, что $XM = m$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это сфера $S$ с центром в точке $M$ и радиусом $m$.
2. Расстояние от точки $X$ до данной плоскости $\Pi$ равно $n$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это две плоскости, $\Pi_1$ и $\Pi_2$, параллельные данной плоскости $\Pi$ и отстоящие от нее на расстояние $n$ (по одной в каждой полупространстве).

Искомое ГМТ является пересечением сферы $S$ и двух плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Результат пересечения зависит от взаимного расположения сферы и плоскостей. Пусть $d$ — расстояние от точки $M$ до плоскости $\Pi$. Тогда расстояния от центра сферы $M$ до плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ равны $|d-n|$ и $d+n$.

Пересечение сферы радиуса $m$ с плоскостью, находящейся на расстоянии $h$ от ее центра, есть:

• окружность, если $h < m$;
• точка, если $h = m$;
• пустое множество, если $h > m$.

Таким образом, в зависимости от соотношения между $m$, $n$ и $d$, искомым ГМТ может быть:

• Две окружности: если $|d-n| < m$ и $d+n < m$.
• Одна окружность и одна точка: если, например, $|d-n| < m$ и $d+n = m$.
• Одна окружность: если, например, $|d-n| < m$ и $d+n > m$.
• Две точки: если $|d-n| = m$ и $d+n = m$.
• Одна точка: если, например, $|d-n| = m$ и $d+n > m$.
• Пустое множество: если $|d-n| > m$ и $d+n > m$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это пересечение сферы и двух параллельных плоскостей, которое может представлять собой две окружности, одну окружность, две точки, одну точку или быть пустым множеством.

б) для которых сумма квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная;

Пусть даны две точки $A$ и $B$, и пусть $X$ — произвольная точка искомого ГМТ. По условию, сумма квадратов расстояний от $X$ до $A$ и $B$ есть величина постоянная, обозначим ее $C^2$. То есть, $XA^2 + XB^2 = C^2$.

Для решения введем систему координат. Пусть ось $Ox$ проходит через точки $A$ и $B$, а начало координат $O$ находится в середине отрезка $AB$. Если расстояние между $A$ и $B$ равно $2a$, то координаты точек будут $A(-a, 0, 0)$ и $B(a, 0, 0)$. Пусть точка $X$ имеет координаты $(x, y, z)$.

Тогда квадраты расстояний равны:
$XA^2 = (x - (-a))^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x+a)^2 + y^2 + z^2$
$XB^2 = (x - a)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2$

Сложим эти выражения:
$XA^2 + XB^2 = ((x+a)^2 + y^2 + z^2) + ((x-a)^2 + y^2 + z^2) = C^2$
$(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2) = C^2$
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2a^2 = C^2$
$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{C^2 - 2a^2}{2}$

Это уравнение сферы с центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ (то есть в середине отрезка $AB$) и радиусом $R$, где $R^2 = \frac{C^2 - 2a^2}{2}$.

Для существования сферы необходимо, чтобы $R^2 > 0$, то есть $C^2 - 2a^2 > 0$, или $C^2 > 2a^2$.
Если $C^2 = 2a^2$, то $R=0$, и ГМТ — это одна точка, середина отрезка $AB$.
Если $C^2 < 2a^2$, то $R^2 < 0$, и ГМТ является пустым множеством.

Ответ: Сфера с центром в середине отрезка, соединяющего две данные точки (при условии, что постоянная величина достаточно велика).

в) являющихся центрами сфер с данным радиусом, проходящих через данную точку A и касающихся данной плоскости.

Пусть $X$ — центр искомой сферы, $r$ — её заданный радиус, $A$ — данная точка, через которую проходит сфера, и $\Pi$ — данная плоскость, которой сфера касается.

Из условий задачи следуют два требования к расположению центра $X$:

1. Поскольку сфера с центром $X$ и радиусом $r$ проходит через точку $A$, расстояние от центра $X$ до точки $A$ должно быть равно радиусу: $XA = r$.
2. Поскольку сфера с центром $X$ и радиусом $r$ касается плоскости $\Pi$, расстояние от центра $X$ до плоскости $\Pi$ также должно быть равно радиусу: $\rho(X, \Pi) = r$.

Таким образом, искомое ГМТ — это множество точек $X$, для которых одновременно выполняются условия $XA = r$ и $\rho(X, \Pi) = r$.

Рассмотрим эти условия по отдельности:

• Множество точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $r$, — это сфера $S_A$ с центром в $A$ и радиусом $r$.
• Множество точек, удаленных от плоскости $\Pi$ на расстояние $r$, — это пара плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$, параллельных $\Pi$ и расположенных по разные стороны от нее на расстоянии $r$.

Искомое ГМТ является пересечением сферы $S_A$ с двумя плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Обозначим расстояние от точки $A$ до плоскости $\Pi$ как $d$.

Расстояния от центра сферы $S_A$ (точки $A$) до плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ будут равны $|d-r|$ и $d+r$. Пересечение сферы $S_A$ (радиуса $r$) с этими плоскостями зависит от величины $d$:

• Если $d > 2r$, то $|d-r| > r$ и $d+r > r$. Сфера $S_A$ не пересекает ни одну из плоскостей. ГМТ — пустое множество.
• Если $d = 2r$, то $|d-r| = |2r-r| = r$. Плоскость $\Pi_1$ касается сферы $S_A$ в одной точке. Расстояние до $\Pi_2$ равно $3r > r$, пересечения нет. ГМТ — одна точка.
• Если $0 < d < 2r$, то $|d-r| < r$. Плоскость $\Pi_1$ пересекает сферу $S_A$ по окружности. Расстояние до $\Pi_2$ равно $d+r > r$, пересечения нет. ГМТ — окружность.
• Если $d = 0$ (точка $A$ лежит в плоскости $\Pi$), то расстояние от $A$ до $\Pi_1$ равно $r$, и до $\Pi_2$ тоже равно $r$. Каждая из плоскостей касается сферы $S_A$ в одной точке. ГМТ — две точки.

Ответ: В зависимости от расстояния $d$ от точки $A$ до плоскости $\Pi$ и радиуса $r$, искомым ГМТ может быть окружность, одна точка, две точки или пустое множество.