Номер 556, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

556. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как $2:5$, высота равна 35 см, а образующая — 37 см (рис. 185). Найдите боковую поверхность и объем конуса.

Рис. 185

Пусть $r$ и $R$ — радиусы меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно. По условию, их отношение составляет $2:5$, что можно записать как $\frac{r}{R} = \frac{2}{5}$ или $R = \frac{5}{2}r$.

Высота конуса $h = 35$ см, а образующая $l = 37$ см. В осевом сечении усеченного конуса образующая, высота и разность радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения и найдем разность радиусов $(R-r)$: $37^2 = 35^2 + (R-r)^2$ $(R-r)^2 = 37^2 - 35^2$ Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $(R-r)^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$ Отсюда $R-r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $r$ и $R$: 1. $R - r = 12$ 2. $R = \frac{5}{2}r$

Подставим второе уравнение в первое: $\frac{5}{2}r - r = 12$ $\frac{3}{2}r = 12$ $r = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

Теперь найдем $R$: $R = 12 + r = 12 + 8 = 20$ см. Итак, радиусы оснований равны $r=8$ см и $R=20$ см.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$ Подставляем известные и найденные значения: $S_{бок} = \pi(20 + 8) \cdot 37 = \pi \cdot 28 \cdot 37 = 1036\pi$ см².
Ответ: $1036\pi \text{ см}^2$.

Объем

Объем усеченного конуса находится по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ Подставляем значения: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 35 \cdot (20^2 + 20 \cdot 8 + 8^2)$ $V = \frac{35\pi}{3} (400 + 160 + 64)$ $V = \frac{35\pi}{3} (624)$ $V = 35\pi \cdot \frac{624}{3} = 35\pi \cdot 208 = 7280\pi$ см³.
Ответ: $7280\pi \text{ см}^3$.