Номер 553, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

553. Ребра основания треугольной пирамиды равны 13 см, 20 см и 21 см, а все боковые ребра — 36 см. Найдите площадь боковой поверхности описанного около пирамиды конуса.

Решение

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Так как конус описан около пирамиды, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание пирамиды (треугольник) вписано в основание конуса (окружность).

Следовательно, образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Из условия задачи имеем:
Стороны треугольника в основании: $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см.
Образующая конуса (боковое ребро пирамиды): $L = 36$ см.

1. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании. Формула для радиуса описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ – площадь треугольника.

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:
$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус описанной окружности:
$R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$ см.

2. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{65}{6} \cdot 36 = \pi \cdot 65 \cdot 6 = 390\pi$ см$^2$.

Ответ: $390\pi$ см$^2$.