Номер 546, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

546. Через вершину конуса с образующей $l$ проведено сечение с наибольшей возможной площадью, отсекающее от окружности основания дугу $\alpha$. Найдите боковую поверхность конуса.

Сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$. Площадь такого треугольника $S$ зависит от угла $\gamma$ между образующими и вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} l^2 \sin(\gamma)$.

По условию задачи, площадь сечения является наибольшей возможной. Так как $l$ — постоянная величина, площадь $S$ максимальна, когда максимальна функция $\sin(\gamma)$. Максимальное значение $\sin(\gamma)$ равно 1, что достигается при $\gamma = 90^\circ$. Таким образом, сечение с наибольшей площадью является прямоугольным равнобедренным треугольником с катетами, равными $l$.

Основание этого треугольника — это хорда $c$ в окружности основания конуса. По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$c^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$

Следовательно, $c = l\sqrt{2}$.

Эта хорда $c$ отсекает от окружности основания дугу, равную $\alpha$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$. Пусть $R$ — радиус основания конуса. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании конуса, образованный двумя радиусами $R$ и хордой $c$. Угол между радиусами равен $\alpha$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$c^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos(\alpha) = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$

Теперь приравняем два полученных выражения для $c^2$:

$2l^2 = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$

$l^2 = R^2(1 - \cos(\alpha))$

Выразим радиус основания $R$:

$R^2 = \frac{l^2}{1 - \cos(\alpha)} \implies R = \frac{l}{\sqrt{1 - \cos(\alpha)}}$

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$. Подставим найденное выражение для $R$:

$S_{бок} = \pi \cdot \left(\frac{l}{\sqrt{1 - \cos(\alpha)}}\right) \cdot l = \frac{\pi l^2}{\sqrt{1 - \cos(\alpha)}}$

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, можно записать ответ в другом виде:

$S_{бок} = \frac{\pi l^2}{\sqrt{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{\pi l^2}{\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi l^2}{\sqrt{1 - \cos(\alpha)}}$ или $S_{бок} = \frac{\pi l^2}{\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2})}$.