Номер 540, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

540*. Тело получено вращением вокруг гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 36 см и 48 см (рис. 181). Найдите объем тела и площадь его поверхности.

Рис. 181

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, представляет собой два конуса с общим основанием. Радиус $r$ этого основания — это высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу. Образующие конусов — это катеты исходного треугольника $a = 36$ см и $b = 48$ см.

Сначала найдем гипотенузу треугольника $c$ и радиус общего основания конусов $r$.
1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60$ см.
2. Радиус $r$ равен высоте, опущенной на гипотенузу. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}cr$. Приравняв эти выражения, получим $ab = cr$, откуда:
$r = \frac{ab}{c} = \frac{36 \cdot 48}{60} = \frac{1728}{60} = 28.8$ см.

Объем тела
Объем тела равен сумме объемов двух конусов. Высоты этих конусов, $h_1$ и $h_2$, в сумме составляют гипотенузу $c$.
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi r^2 c$.
Подставим найденные значения $r = 28.8$ см и $c = 60$ см:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (28.8)^2 \cdot 60 = 20\pi \cdot 829.44 = 16588.8\pi$ см$^3$.
Ответ: $16588.8\pi$ см$^3$.

Площадь его поверхности
Площадь поверхности тела равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (их общее основание находится внутри тела и не учитывается). Образующими конусов $l_1$ и $l_2$ являются катеты $a$ и $b$.
$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) = \pi r (a + b)$.
Подставим известные и найденные значения:
$S = \pi \cdot 28.8 \cdot (36 + 48) = \pi \cdot 28.8 \cdot 84 = 2419.2\pi$ см$^2$.
Ответ: $2419.2\pi$ см$^2$.