Номер 535, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

535. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса, учитывая, что площадь его основания и боковая поверхность соответственно равны $100\sqrt{3}$ см$^2$ и $200$ см$^2$.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, его образующую как $l$, а искомый угол между образующей и плоскостью основания как $\alpha$.

Площадь основания конуса ($S_{осн}$) и площадь его боковой поверхности ($S_{бок}$) определяются следующими формулами:
$S_{осн} = \pi r^2$
$S_{бок} = \pi r l$

Из условия задачи нам известны значения этих площадей:
$S_{осн} = 100\sqrt{3}$ см²
$S_{бок} = 200$ см²

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса и радиус основания, а гипотенузой — образующая. В этом треугольнике радиус $r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$. Таким образом, косинус этого угла равен отношению радиуса основания к образующей:
$\cos \alpha = \frac{r}{l}$

Чтобы найти это отношение, разделим площадь основания на площадь боковой поверхности:
$\frac{S_{осн}}{S_{бок}} = \frac{\pi r^2}{\pi r l} = \frac{r}{l}$

Следовательно, $\cos \alpha$ равен отношению известных нам площадей. Подставим их значения:
$\cos \alpha = \frac{100\sqrt{3}}{200} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.