Номер 529, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

529. Прямая проходит через середину высоты конуса параллельно образующей. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного поверхностью конуса, учитывая, что образующая имеет длину $l$.

Для решения задачи введем систему координат. Поместим вершину конуса $S$ в начало координат $(0,0,0)$, а ось конуса направим вдоль оси $Oz$. Тогда основание конуса — это круг радиуса $R$ в плоскости $z=H$, где $H$ — высота конуса.

Уравнение боковой поверхности конуса в этой системе координат имеет вид:

$x^2 + y^2 = \frac{R^2}{H^2}z^2$

Поверхность конуса, ограничивающая его объем, состоит из боковой поверхности и основания. Основание представляет собой диск, описываемый неравенством $x^2 + y^2 \leq R^2$ в плоскости $z=H$.

Высотой конуса является отрезок $SO_b$, где $O_b$ — центр основания с координатами $(0,0,H)$. Середина высоты, точка $M$, имеет координаты $M(0,0,H/2)$.

Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину $S$ с точкой на окружности основания. В силу осевой симметрии конуса, мы можем выбрать любую удобную образующую. Выберем образующую $SA$, где точка $A$ имеет координаты $(R,0,H)$. Длина этой образующей по условию равна $l$:

$l = |\vec{SA}| = \sqrt{(R-0)^2 + (0-0)^2 + (H-0)^2} = \sqrt{R^2+H^2}$

Прямая, о которой идет речь в задаче, проходит через точку $M(0,0,H/2)$ и параллельна образующей $SA$. Следовательно, направляющим вектором этой прямой является вектор $\vec{v} = \vec{SA} = (R,0,H)$.

Параметрическое уравнение этой прямой можно записать как:

$\vec{p}(t) = M + t\vec{v} = (0,0,H/2) + t(R,0,H) = (tR, 0, H(t+1/2))$

Чтобы найти длину отрезка прямой, ограниченного поверхностью конуса, нужно найти точки пересечения этой прямой с боковой поверхностью и с основанием конуса.

1. Пересечение с боковой поверхностью.

Подставим координаты точек прямой в уравнение конуса:

$(tR)^2 + 0^2 = \frac{R^2}{H^2}(H(t+1/2))^2$

$t^2R^2 = \frac{R^2}{H^2}H^2(t+1/2)^2$

$t^2 = (t+1/2)^2$

$t^2 = t^2 + t + 1/4$

$0 = t + 1/4$

Отсюда находим значение параметра $t_1 = -1/4$. Это значение соответствует единственной точке пересечения прямой с боковой поверхностью (точка касания).

2. Пересечение с основанием конуса.

Основание конуса лежит в плоскости $z=H$. Найдем, при каком значении параметра $t$ прямая пересекает эту плоскость:

$z(t) = H(t+1/2) = H$

$t+1/2 = 1$

$t_2 = 1/2$

Теперь проверим, находится ли точка пересечения внутри круга основания. Координаты точки пересечения:

$\vec{p}(1/2) = ((1/2)R, 0, H) = (R/2, 0, H)$

Проверим условие $x^2 + y^2 \leq R^2$:

$(R/2)^2 + 0^2 = R^2/4$

Так как $R^2/4 \leq R^2$, точка пересечения лежит внутри основания конуса.

Таким образом, отрезок прямой, находящийся внутри конуса, ограничен точками, соответствующими значениям параметра $t_1 = -1/4$ и $t_2 = 1/2$.

3. Вычисление длины отрезка.

Длина отрезка прямой между точками, соответствующими параметрам $t_1$ и $t_2$, равна:

$L = |\vec{p}(t_2) - \vec{p}(t_1)| = |(t_2-t_1)\vec{v}| = |t_2-t_1| \cdot |\vec{v}|$

Разница значений параметра:

$|t_2-t_1| = |1/2 - (-1/4)| = |1/2 + 1/4| = 3/4$

Модуль направляющего вектора $|\vec{v}|$ равен длине образующей $l$.

Следовательно, искомая длина отрезка равна:

$L = \frac{3}{4} l$

Ответ: $\frac{3}{4}l$