Номер 531, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

531. Радиус основания конуса равен 48 см, а его высота — 189 см. Найдите объем конуса, его боковую и полную поверхности.

Дано:

Радиус основания конуса, $R = 48$ см.

Высота конуса, $H = 189$ см.

Объем конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставляем известные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (48)^2 \cdot 189 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2304 \cdot 189$

Сократим 189 и 3:

$V = \pi \cdot 2304 \cdot 63 = 145152 \pi$ (см³)

Ответ: $V = 145152 \pi$ см³.

Боковая поверхность конуса

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$

где $l$ — длина образующей конуса. Чтобы найти образующую, воспользуемся теоремой Пифагора, так как радиус основания ($R$), высота ($H$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой:

$l = \sqrt{R^2 + H^2}$

Подставим значения $R$ и $H$:

$l = \sqrt{48^2 + 189^2} = \sqrt{2304 + 35721} = \sqrt{38025} = 195$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 48 \cdot 195 = 9360 \pi$ (см²)

Ответ: $S_{бок} = 9360 \pi$ см².

Полная поверхность конуса

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{осн} = \pi \cdot 48^2 = 2304 \pi$ (см²)

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площади боковой поверхности и основания:

$S_{полн} = 9360 \pi + 2304 \pi = 11664 \pi$ (см²)

Ответ: $S_{полн} = 11664 \pi$ см².