Номер 534, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

534. Найдите объем конуса, его боковую и полную поверхности, учитывая, что радиус его основания равен $5 \text{ см}$ и осевое сечение имеет площадь $60 \text{ см}^2$ (рис. 180).

Рис. 180

По условию задачи даны радиус основания конуса $r = 5$ см и площадь его осевого сечения $S_{сеч} = 60$ см².

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, основание которого — это диаметр основания конуса $d$, а высота — это высота конуса $h$. Площадь этого треугольника равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot h$.

Сначала найдем диаметр основания конуса: $d = 2r = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь из формулы площади осевого сечения найдем высоту конуса $h$: $60 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$ $60 = 5h$ $h = \frac{60}{5} = 12$ см.

Далее найдем длину образующей конуса $l$. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$ $l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Имея все необходимые параметры ($r=5$ см, $h=12$ см, $l=13$ см), можем вычислить требуемые величины.

Объем конуса

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставляем наши значения: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см³.

Ответ: $100\pi$ см³.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Подставляем наши значения: $S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см².

Ответ: $65\pi$ см².

Полная поверхность

Площадь полной поверхности конуса — это сумма площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$): $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2$. $S_{полн} = 65\pi + \pi \cdot 5^2 = 65\pi + 25\pi = 90\pi$ см².

Ответ: $90\pi$ см².