Номер 528, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

528. Плоскость проходит через вершину конуса на расстоянии 12 см от центра его основания. Найдите площадь сечения, учитывая, что радиус основания конуса равен 17 см, а его высота — 20 см.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания. Высота конуса H = SO = 20 см, а радиус основания R = 17 см. Секущая плоскость α проходит через вершину S и пересекает основание конуса по хорде AB. Сечением является равнобедренный треугольник SAB (SA = SB как образующие конуса). Площадь этого треугольника равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где SM — высота треугольника SAB, опущенная на основание AB.

Расстояние от центра основания O до плоскости сечения α равно длине перпендикуляра OK, опущенного из точки O на плоскость α. По условию, OK = 12 см.

Рассмотрим треугольник SOM. Так как SO — высота конуса, то SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в частности, OM. Таким образом, треугольник SOM — прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$). Перпендикуляр OK, опущенный из точки O на плоскость SAB, лежит в плоскости SOM (так как плоскость SOM перпендикулярна линии пересечения AB). Следовательно, точка K лежит на отрезке SM, и OK является высотой прямоугольного треугольника SOM, проведенной к гипотенузе SM.

В прямоугольном треугольнике SOM известны катет SO = 20 см и высота OK = 12 см. Найдем второй катет OM, используя соотношение для высоты в прямоугольном треугольнике:
$\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OM^2}$
Подставим известные значения:
$\frac{1}{12^2} = \frac{1}{20^2} + \frac{1}{OM^2}$
$\frac{1}{144} = \frac{1}{400} + \frac{1}{OM^2}$
$\frac{1}{OM^2} = \frac{1}{144} - \frac{1}{400} = \frac{400 - 144}{144 \cdot 400} = \frac{256}{57600}$
$OM^2 = \frac{57600}{256} = 225$
$OM = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем гипотенузу SM (высоту сечения) по теореме Пифагора в треугольнике SOM:
$SM^2 = SO^2 + OM^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$
$SM = \sqrt{625} = 25$ см.

Далее найдем длину основания сечения — хорду AB. Рассмотрим треугольник OMA в основании конуса. Он прямоугольный, так как OM — расстояние от центра до хорды AB, а значит OM ⊥ AB. Катет OM = 15 см, а гипотенуза OA — это радиус основания, R = 17 см. По теореме Пифагора найдем половину хорды AM:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$17^2 = 15^2 + AM^2$
$289 = 225 + AM^2$
$AM^2 = 289 - 225 = 64$
$AM = \sqrt{64} = 8$ см.
Длина всей хорды AB равна $2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения (треугольника SAB):
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 8 \cdot 25 = 200$ см².

Ответ: 200 см².