Номер 525, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

525. Докажите, что угол при вершине осевого сечения конуса является острым, прямым или тупым, если высота конуса соответственно больше, равна или меньше радиуса его основания.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, вершиной которого является вершина конуса, основанием – диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса.

Пусть $h$ – высота конуса, $r$ – радиус его основания, а $\alpha$ – угол при вершине осевого сечения. Высота конуса $h$ является также высотой, медианой и биссектрисой этого равнобедренного треугольника.

Высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников катетами являются высота конуса $h$ и радиус основания $r$. Угол при вершине конуса в каждом таком прямоугольном треугольнике равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть $\alpha/2$. Этот угол ($\alpha/2$) лежит против катета, равного радиусу $r$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем соотношение: $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h} $

Далее проанализируем это соотношение для трех случаев.

Доказательство для случая, когда высота конуса больше радиуса его основания ($h > r$)

Если $h > r$, то, поскольку $h$ и $r$ являются положительными величинами, их отношение $\frac{r}{h} < 1$.

Следовательно, $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) < 1 $.

Так как $\frac{\alpha}{2}$ – это острый угол прямоугольного треугольника ( $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$ ), а функция тангенса на этом интервале возрастает, из неравенства $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) < 1 $ следует, что угол $\frac{\alpha}{2}$ меньше угла, тангенс которого равен 1. Таким углом является $45^\circ$ (поскольку $\tan(45^\circ) = 1$).

Таким образом, $\frac{\alpha}{2} < 45^\circ$. Умножая обе части неравенства на 2, получаем $\alpha < 90^\circ$. Это означает, что угол при вершине осевого сечения является острым.

Ответ: доказано, что если высота конуса больше радиуса его основания, то угол при вершине осевого сечения является острым.

Доказательство для случая, когда высота конуса равна радиусу его основания ($h = r$)

Если $h = r$, то их отношение $\frac{r}{h} = 1$.

Следовательно, $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 $.

Единственным острым углом, тангенс которого равен 1, является угол $45^\circ$.

Таким образом, $\frac{\alpha}{2} = 45^\circ$. Умножая обе части равенства на 2, получаем $\alpha = 90^\circ$. Это означает, что угол при вершине осевого сечения является прямым.

Ответ: доказано, что если высота конуса равна радиусу его основания, то угол при вершине осевого сечения является прямым.

Доказательство для случая, когда высота конуса меньше радиуса его основания ($h < r$)

Если $h < r$, то их отношение $\frac{r}{h} > 1$.

Следовательно, $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 1 $.

Поскольку функция тангенса возрастает на интервале ($0^\circ, 90^\circ$) и $\tan(45^\circ) = 1$, из неравенства $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 1 $ следует, что $\frac{\alpha}{2} > 45^\circ$.

Умножая обе части неравенства на 2, получаем $\alpha > 90^\circ$. Это означает, что угол при вершине осевого сечения является тупым.

Ответ: доказано, что если высота конуса меньше радиуса его основания, то угол при вершине осевого сечения является тупым.