Номер 518, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

518. В треугольной пирамиде имеется две пары перпендикулярных противоположных ребер. Докажите, что каждая вершина пирамиды проецируется в точку пересечения высот противоположной грани.

Пусть дана треугольная пирамида $ABCD$. По условию, в ней есть две пары перпендикулярных противоположных ребер. Без ограничения общности, пусть это будут ребра $AB \perp CD$ и $AC \perp BD$.

Сначала докажем, что третья пара противоположных ребер, $AD$ и $BC$, также перпендикулярна. Для этого воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие вершинам пирамиды: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Условие перпендикулярности ребер означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю.

Из $AB \perp CD$ следует $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$, что раскрывается как $\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ (1).

Из $AC \perp BD$ следует $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$, что раскрывается как $\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (2).

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$(\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c}) - (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
После упрощения получаем: $\vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = (\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}$.
Сравнивая это выражение с результатом вычитания, видим, что $\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = -(\vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
Следовательно, $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$, что означает $AD \perp BC$. Таким образом, в данной пирамиде все три пары противоположных ребер взаимно перпендикулярны.

Теперь докажем основное утверждение задачи. Докажем, что вершина $D$ проецируется в ортоцентр (точку пересечения высот) грани $ABC$. Пусть $H$ – проекция вершины $D$ на плоскость $(ABC)$. По определению, прямая $DH$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости.

Рассмотрим ребро $AB$ основания. Так как $DH \perp (ABC)$, то $DH \perp AB$. Из условия задачи мы знаем, что $CD \perp AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $CD$, которые образуют плоскость $(CDH)$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(CDH)$. Прямая $CH$ лежит в этой плоскости, значит, $AB \perp CH$. Поскольку $H$ лежит в плоскости $(ABC)$, $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $C$.

Рассмотрим ребро $BC$ основания. Так как $DH \perp (ABC)$, то $DH \perp BC$. Мы доказали, что $AD \perp BC$. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $AD$, которые образуют плоскость $(ADH)$. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(ADH)$. Прямая $AH$ лежит в этой плоскости, значит, $BC \perp AH$. Поскольку $H$ лежит в плоскости $(ABC)$, $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$.

Точка $H$ является точкой пересечения высот $CH$ и $AH$ треугольника $ABC$, следовательно, $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

Аналогичные рассуждения можно провести для любой другой вершины пирамиды, так как условие перпендикулярности противоположных ребер симметрично относительно всех вершин. Таким образом, каждая вершина пирамиды проецируется в точку пересечения высот противоположной грани.

Ответ: Утверждение доказано.