Номер 515, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

515. Площади оснований усеченной пирамиды равны $27 \text{ см}^2$ и $192 \text{ см}^2$. Найдите площадь сечения, проходящего параллельно основаниям и разделяющего боковое ребро в отношении $2:3$, считая от:

а) меньшего основания (рис. 173);

б) большего основания (рис. 174).

Для решения задачи воспользуемся свойством пирамиды: площади параллельных сечений относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Пусть усеченная пирамида является частью полной пирамиды с вершиной $P$. Обозначим площадь меньшего основания $S_1 = 27 \text{ см}^2$, а площадь большего основания $S_2 = 192 \text{ см}^2$. Пусть $h_1$ — высота малой пирамиды (которую "отсекли" от полной), а $h_2$ — высота полной пирамиды. Тогда отношение их площадей равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$

Подставим известные значения:

$\frac{27}{192} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$

Сократим дробь $\frac{27}{192}$ на 3: $\frac{9}{64}$.

$\frac{9}{64} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$

Отсюда находим отношение высот:

$\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{3}{8}$

Это означает, что $h_1 = 3k$ и $h_2 = 8k$ для некоторого коэффициента $k$. Высота самой усеченной пирамиды $h_{ус} = h_2 - h_1 = 8k - 3k = 5k$.

Поскольку сечение параллельно основаниям, оно делит высоту усеченной пирамиды в том же отношении, что и боковое ребро.

а) Сечение делит боковое ребро в отношении 2:3, считая от меньшего основания.

Это значит, что высота усеченной пирамиды $h_{ус} = 5k$ делится в отношении 2:3. Расстояние от меньшего основания до сечения равно $\frac{2}{2+3} h_{ус} = \frac{2}{5} (5k) = 2k$.

Расстояние от вершины полной пирамиды $P$ до этого сечения будет $h_x = h_1 + 2k = 3k + 2k = 5k$.

Пусть $S_x$ — площадь искомого сечения. Найдем ее, используя отношение к площади меньшего основания:

$\frac{S_x}{S_1} = \left(\frac{h_x}{h_1}\right)^2$

$\frac{S_x}{27} = \left(\frac{5k}{3k}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

$S_x = 27 \cdot \frac{25}{9} = 3 \cdot 25 = 75 \text{ см}^2$.

Ответ: 75 см².

б) Сечение делит боковое ребро в отношении 2:3, считая от большего основания.

Это значит, что высота усеченной пирамиды $h_{ус} = 5k$ делится в отношении 3:2 (от меньшего к большему основанию). Расстояние от меньшего основания до сечения равно $\frac{3}{2+3} h_{ус} = \frac{3}{5} (5k) = 3k$.

Расстояние от вершины полной пирамиды $P$ до этого сечения будет $h_x = h_1 + 3k = 3k + 3k = 6k$.

Найдем площадь сечения $S_x$, используя отношение к площади меньшего основания:

$\frac{S_x}{S_1} = \left(\frac{h_x}{h_1}\right)^2$

$\frac{S_x}{27} = \left(\frac{6k}{3k}\right)^2 = 2^2 = 4$

$S_x = 27 \cdot 4 = 108 \text{ см}^2$.

Ответ: 108 см².