Номер 517, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

517. Докажите, что если основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, то выполняется равенство $SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ прямоугольника $ABCD$. Направим ось $Ox$ вдоль стороны $AB$, а ось $Oy$ — вдоль стороны $AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB \perp AD$. Ось $Oz$ направим перпендикулярно плоскости основания.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин основания будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, b, 0)$
• $C(a, b, 0)$

Пусть вершина пирамиды $S$ имеет произвольные координаты $S(x, y, z)$.

Теперь найдем квадраты длин боковых ребер пирамиды, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Вычислим сумму квадратов длин ребер $SA$ и $SC$ (левая часть доказываемого равенства):

$SA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$

$SC^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$SA^2 + SC^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Теперь вычислим сумму квадратов длин ребер $SB$ и $SD$ (правая часть доказываемого равенства):

$SB^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2$

$SD^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 + (z - 0)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$SB^2 + SD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей равенства, мы видим, что они идентичны:

$SA^2 + SC^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

$SB^2 + SD^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Таким образом, мы доказали, что $SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2$.

Ответ: Равенство доказано.