Номер 514, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

514. Площади оснований усеченной пирамиды равны $12 \text{ см}^2$ и $48 \text{ см}^2$. Найдите площадь сечения, проходящего через середину бокового ребра параллельно основаниям.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усеченной пирамиды, а $S_{сеч}$ — площадь искомого сечения. Сечение, проходящее через середину бокового ребра и параллельное основаниям, также проходит через середину высоты усеченной пирамиды.

Из условия имеем: $S_1 = 12 \text{ см}^2$ и $S_2 = 48 \text{ см}^2$.

Любое сечение пирамиды, параллельное её основанию, является многоугольником, подобным основанию. Площади подобных фигур относятся как квадрат их соответственных линейных размеров.

Достроим усеченную пирамиду до полной. Пусть $a_1$ и $a_2$ — соответственные линейные размеры (например, стороны оснований), а $a_{сеч}$ — соответственный линейный размер сечения. Из-за того, что сечение проходит через середину бокового ребра, его линейные размеры являются средним арифметическим линейных размеров оснований (это следует из свойства средней линии трапеции, которой является боковая грань).
$a_{сеч} = \frac{a_1 + a_2}{2}$

Площади оснований и сечения выражаются через квадраты их линейных размеров с некоторым коэффициентом пропорциональности $k$, зависящим от формы основания:
$S_1 = k \cdot a_1^2 \implies a_1 = \sqrt{\frac{S_1}{k}}$
$S_2 = k \cdot a_2^2 \implies a_2 = \sqrt{\frac{S_2}{k}}$
$S_{сеч} = k \cdot a_{сеч}^2 \implies a_{сеч} = \sqrt{\frac{S_{сеч}}{k}}$

Подставим эти выражения в формулу для $a_{сеч}$:
$\sqrt{\frac{S_{сеч}}{k}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{k}} + \sqrt{\frac{S_2}{k}}}{2}$

Сократив общий множитель $\frac{1}{\sqrt{k}}$, получим формулу, связывающую площади:
$\sqrt{S_{сеч}} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Это известная формула для площади сечения, проходящего посредине высоты усеченной пирамиды. Подставим в неё данные значения площадей оснований.

Сначала найдем квадратные корни из площадей:
$\sqrt{S_1} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{S_2} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Теперь вычислим корень из площади сечения:
$\sqrt{S_{сеч}} = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

Чтобы найти саму площадь $S_{сеч}$, возведем полученное значение в квадрат:
$S_{сеч} = (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

Таким образом, площадь сечения равна $27 \text{ см}^2$.

Ответ: 27 см².