Номер 521, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

521. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ вершина основания $A$ находится на расстоянии $a$ от грани $SBC$. Апофема боковой грани образует угол $\alpha$ с плоскостью основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды и ее объем.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$.

Введем обозначения:

• $x$ — сторона основания $ABC$ ($x = AB = BC = AC$).
• $H = SO$ — высота пирамиды.
• $M$ — середина ребра $BC$.
• $SM$ — апофема боковой грани $SBC$. Обозначим ее длину $h_a$.
• $AM$ — медиана и высота основания $ABC$.

По условию, угол между апофемой $SM$ и плоскостью основания $ABC$ равен $\alpha$. Этот угол — $\angle SMO$, так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, а $OM$ — проекция $SM$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$:

$H = SO = OM \cdot \tan\alpha$

$h_a = SM = \frac{OM}{\cos\alpha}$

Для равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $x$ имеем:

Высота (и медиана) $AM = \frac{x\sqrt{3}}{2}$.

Радиус вписанной окружности $OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{6}$.

Теперь выразим $H$ и $h_a$ через $x$ и $\alpha$:

$H = \frac{x\sqrt{3}}{6}\tan\alpha$

$h_a = \frac{x\sqrt{3}}{6\cos\alpha}$

По условию, расстояние от вершины $A$ до грани $SBC$ равно $a$.

Проведем плоскость через точки $A$, $S$ и $M$. Так как $BC \perp AM$ и $BC \perp SM$, то $BC$ перпендикулярна плоскости $(ASM)$. Это означает, что плоскость $(ASM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$ равно длине высоты $AK$, проведенной из вершины $A$ к стороне $SM$ в треугольнике $ASM$. Таким образом, $AK=a$.

Найдем площадь треугольника $ASM$ двумя способами:

1. Через основание $AM$ и высоту $SO$ (так как $A, O, M$ лежат на одной прямой, а $SO$ перпендикулярна $AM$):

$S_{ASM} = \frac{1}{2} AM \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{6}\tan\alpha = \frac{3x^2}{24}\tan\alpha = \frac{x^2}{8}\tan\alpha$.

2. Через основание $SM$ и высоту $AK=a$:

$S_{ASM} = \frac{1}{2} SM \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot h_a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{6\cos\alpha} \cdot a = \frac{ax\sqrt{3}}{12\cos\alpha}$.

Приравняем два выражения для площади:

$\frac{x^2}{8}\tan\alpha = \frac{ax\sqrt{3}}{12\cos\alpha}$

Поскольку $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$\frac{x^2}{8}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ax\sqrt{3}}{12\cos\alpha}$

Сокращаем на $x$ (так как $x \neq 0$) и $\cos\alpha$ (так как $\alpha$ - острый угол в прямоугольном треугольнике):

$\frac{x}{8}\sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{12}$

$x = \frac{8a\sqrt{3}}{12\sin\alpha} = \frac{2a\sqrt{3}}{3\sin\alpha}$.

Теперь, зная сторону основания $x$, мы можем найти площадь полной поверхности и объем пирамиды.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Площадь основания:

$S_{осн} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2a\sqrt{3}}{3\sin\alpha} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4a^2 \cdot 3}{9\sin^2\alpha} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{9\sin^2\alpha} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha}$.

Площадь боковой поверхности для правильной пирамиды можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha}$, где $\alpha$ — двугранный угол при основании.

$S_{бок} = \frac{1}{\cos\alpha} \cdot S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha} + \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha\cos\alpha} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha} \left( 1 + \frac{1}{\cos\alpha} \right) = \frac{a^2\sqrt{3}(1+\cos\alpha)}{3\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{a^2\sqrt{3}(1+\cos\alpha)}{3\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Объем

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Найдем высоту пирамиды $H$:

$H = \frac{x\sqrt{3}}{6}\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6}\tan\alpha \cdot \left(\frac{2a\sqrt{3}}{3\sin\alpha}\right) = \frac{6a}{18} \frac{\tan\alpha}{\sin\alpha} = \frac{a}{3} \frac{\sin\alpha/\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{a}{3\cos\alpha}$.

Теперь вычислим объем:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha} \cdot \frac{a}{3\cos\alpha} = \frac{a^3\sqrt{3}}{27\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{27\sin^2\alpha\cos\alpha}$.