Номер 547, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

547. Найдите площадь поверхности и объем тела, получаемого при вращении треугольника со сторонами 12 см, 17 см и 25 см вокруг:

a) меньшей стороны;

б) большей стороны.

Для решения задачи сначала найдем площадь треугольника и высоты, проведенные к каждой из сторон. Стороны треугольника: $a = 12$ см, $b = 17$ см, $c = 25$ см.

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+17+25}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь найдем площадь $S$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = \sqrt{8100} = 90$ см$^2$.

Тело, получаемое при вращении треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиус этого основания равен высоте треугольника, опущенной на сторону вращения, а образующие конусов равны двум другим сторонам треугольника.

а) вращении вокруг меньшей стороны;

Меньшая сторона — это $a = 12$ см. Она будет осью вращения.

1. Находим радиус основания конусов. Радиус $r$ равен высоте $h_a$, проведенной к стороне $a$.

$S = \frac{1}{2} a h_a \Rightarrow h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 90}{12} = 15$ см.

Итак, $r = 15$ см.

2. Находим объем тела вращения. Объем тела равен сумме объемов двух конусов. Сумма высот этих конусов равна длине стороны вращения, то есть $a=12$ см.

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 a = \frac{1}{3}\pi (15)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 225 \cdot 12 = 900\pi$ см$^3$.

3. Находим площадь поверхности тела вращения. Площадь поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Образующими конусов являются две другие стороны треугольника: $l_1 = b = 17$ см и $l_2 = c = 25$ см.

$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 15 \cdot (17 + 25) = 15\pi \cdot 42 = 630\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности $630\pi$ см$^2$, объем $900\pi$ см$^3$.

б) вращении вокруг большей стороны;

Большая сторона — это $c = 25$ см. Она будет осью вращения.

1. Находим радиус основания конусов. Радиус $r$ равен высоте $h_c$, проведенной к стороне $c$.

$S = \frac{1}{2} c h_c \Rightarrow h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{180}{25} = 7.2$ см.

Итак, $r = 7.2$ см.

2. Находим объем тела вращения. Объем тела равен сумме объемов двух конусов. Сумма высот этих конусов равна длине стороны вращения, то есть $c=25$ см.

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 c = \frac{1}{3}\pi (7.2)^2 \cdot 25 = \frac{1}{3}\pi \cdot 51.84 \cdot 25 = 432\pi$ см$^3$.

3. Находим площадь поверхности тела вращения. Площадь поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Образующими конусов являются две другие стороны треугольника: $l_1 = a = 12$ см и $l_2 = b = 17$ см.

$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) = \pi \cdot 7.2 \cdot (12 + 17) = 7.2\pi \cdot 29 = 208.8\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности $208.8\pi$ см$^2$, объем $432\pi$ см$^3$.