Номер 690, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

690. В четырехугольной пирамиде все ребра равны $a$, вершина является центром шара, касающегося основания. Найдите длину линии, по которой пересекаются пирамида и шар.

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание. По условию, все ребра пирамиды равны $a$. Это означает, что основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a$, а боковые грани ($SAB, SBC, SCD, SDA$) — равносторонними треугольниками со стороной $a$. Следовательно, пирамида является правильной.

Центр шара совпадает с вершиной пирамиды $S$, и шар касается плоскости основания. Радиус шара $R$ равен расстоянию от его центра $S$ до плоскости основания, то есть высоте пирамиды $H$. Найдем высоту $H=SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Гипотенуза $SA$ является боковым ребром, $SA = a$. Катет $OA$ — это половина диагонали квадрата $AC$. Длина диагонали $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Тогда $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора для треугольника $SOA$:$SO^2 = SA^2 - OA^2$$H^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$Отсюда высота пирамиды и радиус шара равны:$R = H = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Линия, по которой пересекаются пирамида и шар, состоит из участков на боковых гранях пирамиды. Основание пирамиды касается шара лишь в одной точке (центре $O$), поэтому эта точка не образует линии. Рассмотрим пересечение шара с одной из боковых граней, например, с плоскостью треугольника $SAB$. Так как эта плоскость проходит через центр шара $S$, в сечении образуется большая окружность радиуса $R$. Линия пересечения — это дуга этой окружности, которая лежит внутри треугольника $SAB$. Эта дуга соединяет точки пересечения шара с ребрами $SA$ и $SB$. Обозначим эти точки $P$ и $Q$. Расстояния от центра шара $S$ до этих точек равны радиусу: $SP = SQ = R$.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L_{дуги} = R \cdot \alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах. Для дуги $PQ$ центральным углом является $\angle PSQ$. Этот угол совпадает с углом при вершине боковой грани $\angle ASB$. Поскольку грань $SAB$ — равносторонний треугольник, $\angle ASB = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан. Длина одной такой дуги равна:$L_{дуги} = R \cdot \alpha = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi a\sqrt{2}}{6}$.

Так как у пирамиды четыре одинаковые боковые грани, полная линия пересечения состоит из четырех таких дуг. Общая длина линии $L$ равна:$L = 4 \cdot L_{дуги} = 4 \cdot \frac{\pi a\sqrt{2}}{6} = \frac{2\pi a\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi a\sqrt{2}}{3}$.