Номер 693, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

693. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник с высотой $H$. Найдите длину линии, по которой пересекаются этот конус и шар, для которого ось конуса является диаметром.

Пусть высота конуса равна $H$. Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, то угол при вершине этого треугольника составляет $60^\circ$. Ось конуса делит этот угол пополам, поэтому угол между осью конуса и его образующей равен $30^\circ$.

Введем прямоугольную систему координат. Разместим вершину конуса в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось конуса направим вдоль оси $Oz$. Уравнение поверхности такого конуса имеет вид $x^2 + y^2 = k^2 z^2$, где $k$ — тангенс угла между осью и образующей. В нашем случае $k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, уравнение конуса: $ x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 z^2 \implies x^2 + y^2 = \frac{1}{3}z^2 $

Ось конуса является отрезком оси $Oz$ от $z=0$ до $z=H$. По условию, этот отрезок является диаметром шара. Следовательно, центр шара находится в середине этого отрезка, в точке с координатами $(0, 0, \frac{H}{2})$, а радиус шара равен $R_{ш} = \frac{H}{2}$.

Уравнение сферы, которая является границей шара: $ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - \frac{H}{2})^2 = \left(\frac{H}{2}\right)^2 $ $ x^2 + y^2 + \left(z - \frac{H}{2}\right)^2 = \frac{H^2}{4} $

Линия пересечения конуса и шара находится путем решения системы уравнений их поверхностей. Подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы: $ \frac{1}{3}z^2 + \left(z - \frac{H}{2}\right)^2 = \frac{H^2}{4} $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$: $ \frac{1}{3}z^2 + z^2 - 2 \cdot z \cdot \frac{H}{2} + \frac{H^2}{4} = \frac{H^2}{4} $ $ \frac{4}{3}z^2 - Hz = 0 $ $ z\left(\frac{4}{3}z - H\right) = 0 $

Получаем два значения для $z$: $z_1 = 0$ и $z_2 = \frac{3H}{4}$. Решение $z=0$ соответствует вершине конуса. Решение $z = \frac{3H}{4}$ означает, что линия пересечения является окружностью, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси конуса и находящейся на расстоянии $\frac{3H}{4}$ от его вершины.

Найдем радиус $r$ этой окружности. Подставим значение $z = \frac{3H}{4}$ в уравнение конуса: $ r^2 = x^2 + y^2 = \frac{1}{3}z^2 = \frac{1}{3}\left(\frac{3H}{4}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{9H^2}{16} = \frac{3H^2}{16} $ $ r = \sqrt{\frac{3H^2}{16}} = \frac{H\sqrt{3}}{4} $

Искомая длина линии пересечения — это длина найденной окружности, которая вычисляется по формуле $L = 2\pi r$: $ L = 2\pi \cdot \frac{H\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi H\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\pi H\sqrt{3}}{2} $