Номер 699, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

699. Шар с радиусом 12 см вписан в усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4 : 9 (рис. 225). Найдите объем конуса.

Рис. 225

1. Определение высоты усеченного конуса.

Так как шар вписан в усеченный конус, он касается его верхнего и нижнего оснований. Это означает, что расстояние между основаниями, то есть высота конуса $H$, равно диаметру вписанного шара.

Радиус шара по условию $r_{\text{шара}} = 12$ см.

Следовательно, высота конуса $H = 2 \cdot r_{\text{шара}} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Нахождение радиусов оснований конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара) с радиусом $12$ см.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшего и большего оснований конуса соответственно. Согласно условию, их отношение составляет $4:9$. Таким образом, мы можем записать: $r_1 = 4k$ и $r_2 = 9k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований ($2r_1$ и $2r_2$) равна сумме длин боковых сторон (двух образующих $L$).

$2r_1 + 2r_2 = 2L$

$L = r_1 + r_2$

С другой стороны, образующую $L$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, образующей $L$ (гипотенуза) и разностью радиусов $r_2 - r_1$ (катет):

$L^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Приравняем квадраты двух выражений для $L$:

$(r_1 + r_2)^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = H^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 + r_1^2$

Упростим выражение:

$4r_1r_2 = H^2$

Теперь подставим известные значения $H=24$, $r_1 = 4k$ и $r_2 = 9k$ в это равенство:

$4 \cdot (4k) \cdot (9k) = 24^2$

$144k^2 = 576$

$k^2 = \frac{576}{144} = 4$

$k = 2$ (поскольку радиус должен быть положительным).

Теперь найдем радиусы оснований:

Меньший радиус: $r_1 = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Больший радиус: $r_2 = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

3. Вычисление объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi H (r_2^2 + r_2r_1 + r_1^2)$

Подставим найденные значения $H=24$ см, $r_1=8$ см и $r_2=18$ см:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 24 \cdot (18^2 + 18 \cdot 8 + 8^2)$

$V = 8\pi \cdot (324 + 144 + 64)$

$V = 8\pi \cdot (532)$

$V = 4256\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $4256\pi \text{ см}^3$.