Номер 698, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

698. Образующая усеченного конуса, в который можно вписать шар, равна 13 см. Найдите полную поверхность и объем конуса, учитывая, что радиус одного из его оснований равен 9 см.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ — его образующая, а $h$ — высота.

Дано:

• Образующая $l = 13$ см.
• Радиус одного из оснований равен 9 см.
• В усеченный конус можно вписать шар.

Ключевое свойство усеченного конуса, в который можно вписать шар, заключается в том, что его образующая равна сумме радиусов оснований. Это свойство следует из рассмотрения осевого сечения конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию, описанную около окружности. В описанной трапеции суммы длин противоположных сторон равны. Для осевого сечения это означает $2R + 2r = l + l$, что упрощается до: $R + r = l$

Нам дан радиус одного из оснований, равный 9 см. Логично предположить, что это радиус большего основания, то есть $R = 9$ см. Подставим известные значения в формулу: $9 + r = 13$ Отсюда находим радиус меньшего основания: $r = 13 - 9 = 4$ см. Наше предположение верно, так как $R > r$ ($9 > 4$).

Теперь найдем высоту конуса $h$. Высота, образующая и радиусы оснований связаны соотношением, которое вытекает из прямоугольного треугольника в осевом сечении: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$ Выразим высоту $h$: $h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$ Подставим наши значения: $h = \sqrt{13^2 - (9-4)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Итак, мы определили все параметры усеченного конуса: $R = 9$ см, $r = 4$ см, $l = 13$ см и $h = 12$ см.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей его оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{нижн.осн} + S_{верхн.осн} + S_{бок}$ $S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi l(R+r)$ Подставляем вычисленные значения: $S_{полн} = \pi \cdot 9^2 + \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 13 \cdot (9+4)$ $S_{полн} = 81\pi + 16\pi + \pi \cdot 13 \cdot 13$ $S_{полн} = 81\pi + 16\pi + 169\pi$ $S_{полн} = (81 + 16 + 169)\pi = 266\pi$ см$^2$.

Ответ: $266\pi$ см$^2$.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$ Подставляем известные значения: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2)$ $V = 4\pi (81 + 36 + 16)$ $V = 4\pi (117 + 16)$ $V = 4\pi \cdot 133 = 532\pi$ см$^3$.

Ответ: $532\pi$ см$^3$.