Номер 702, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

702. Шар вписан в конус с радиусом основания 9 см. Найдите радиус шара, учитывая, что плоскость, содержащая точки касания, разделяет конус на части, объемы которых относятся как 8 : 117, если считать от вершины конуса (рис. 226).

Рис. 226

Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, $L$ – образующая, а $r$ – радиус вписанного шара. По условию, $R = 9$ см.

Плоскость, которая содержит точки касания шара и боковой поверхности конуса, отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному. Обозначим объем малого конуса (у вершины) как $V_1$, а объем оставшейся части (усеченного конуса) как $V_{усеч}$.

По условию, объемы этих частей относятся как $8 : 117$, считая от вершины конуса. $V_1 : V_{усеч} = 8 : 117$.

Объем всего конуса $V$ равен сумме объемов его частей: $V = V_1 + V_{усеч}$. Тогда отношение объема малого конуса к объему всего конуса составляет: $ \frac{V_1}{V} = \frac{8}{8 + 117} = \frac{8}{125} $

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия $k$. Следовательно: $ k^3 = \frac{V_1}{V} = \frac{8}{125} \implies k = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5} $

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров малого и большого конусов, в том числе их образующих. Пусть $l_м$ - образующая малого конуса, а $L$ - образующая большого конуса. Тогда $ \frac{l_м}{L} = k = \frac{2}{5} $.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Это равнобедренный треугольник с вписанной окружностью. Пусть $S$ – вершина конуса, $O'$ – центр его основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $SO' = H$, $O'A = R$, $SA = L$. Центр вписанного шара $O$ лежит на высоте $SO'$, а его радиус равен $r$. Пусть $K$ – точка касания шара и образующей $SA$. Тогда $OK = r$ и $OK \perp SA$.

Образующая малого конуса $l_м$ – это расстояние от вершины $S$ до точки касания $K$, то есть $l_м = SK$. Таким образом, $SK = \frac{2}{5}L$.

Прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ (с прямым углом при $K$) и $\triangle SO'A$ (с прямым углом при $O'$) подобны, так как у них общий острый угол при вершине $S$. Из подобия треугольников следует отношение их сторон: $ \frac{OK}{O'A} = \frac{SK}{SO'} = \frac{SO}{SA} $

Подставив наши обозначения, получим: $ \frac{r}{R} = \frac{SK}{H} = \frac{H-r}{L} $

Из пропорции $ \frac{r}{R} = \frac{SK}{H} $ и равенства $SK = \frac{2}{5}L$ получим: $ \frac{r}{R} = \frac{\frac{2}{5}L}{H} \implies \frac{rH}{R} = \frac{2}{5}L $

Возведем обе части равенства в квадрат: $ \frac{r^2 H^2}{R^2} = \frac{4}{25}L^2 $

По теореме Пифагора для большого конуса $L^2 = H^2 + R^2$. Подставим это в наше уравнение: $ \frac{r^2 H^2}{R^2} = \frac{4}{25}(H^2 + R^2) $

Умножим обе части на $25R^2$: $ 25r^2 H^2 = 4R^2 (H^2 + R^2) $ $ 25r^2 H^2 = 4R^2 H^2 + 4R^4 $ $ H^2(25r^2 - 4R^2) = 4R^4 $ (1)

Теперь используем другую часть пропорции из подобия треугольников: $ \frac{r}{R} = \frac{H-r}{L} $. Отсюда $ L = \frac{R(H-r)}{r} $. Возведем в квадрат: $ L^2 = \frac{R^2(H-r)^2}{r^2} $. Снова заменим $L^2$ на $H^2 + R^2$: $ H^2 + R^2 = \frac{R^2(H^2 - 2Hr + r^2)}{r^2} $ $ r^2(H^2 + R^2) = R^2 H^2 - 2R^2 Hr + R^2 r^2 $ $ r^2 H^2 + r^2 R^2 = R^2 H^2 - 2R^2 Hr + R^2 r^2 $ $ r^2 H^2 = R^2 H^2 - 2R^2 Hr $

Поскольку высота $H \neq 0$, можно разделить обе части на $H$: $ r^2 H = R^2 H - 2R^2 r $ $ 2R^2 r = H(R^2 - r^2) $ $ H = \frac{2R^2 r}{R^2 - r^2} $ (2)

Подставим выражение для $H^2$ из уравнения (2) в уравнение (1): $ H^2 = \left(\frac{2R^2 r}{R^2 - r^2}\right)^2 = \frac{4R^4 r^2}{(R^2 - r^2)^2} $ $ \frac{4R^4 r^2}{(R^2 - r^2)^2} (25r^2 - 4R^2) = 4R^4 $

Сократим на $4R^4$ (так как $R \neq 0$): $ \frac{r^2(25r^2 - 4R^2)}{(R^2 - r^2)^2} = 1 $ $ 25r^4 - 4r^2 R^2 = (R^2 - r^2)^2 $ $ 25r^4 - 4r^2 R^2 = R^4 - 2R^2 r^2 + r^4 $ $ 24r^4 - 2R^2 r^2 - R^4 = 0 $

Это биквадратное уравнение относительно $r$ и $R$. Сделаем замену $x = \frac{R^2}{r^2}$. Для этого разделим уравнение на $r^4$ (так как $r \neq 0$): $ 24 - 2\frac{R^2}{r^2} - (\frac{R^2}{r^2})^2 = 0 $ $ 24 - 2x - x^2 = 0 $ $ x^2 + 2x - 24 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$. Так как $x = (\frac{R}{r})^2$, значение $x$ не может быть отрицательным. Следовательно, $x=4$. $ \frac{R^2}{r^2} = 4 \implies R^2 = 4r^2 $ $ R = 2r $ (поскольку радиусы – положительные величины).

Теперь найдем радиус шара $r$, зная радиус основания конуса $R=9$ см: $ r = \frac{R}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 $ см.

Ответ: 4,5 см.