Номер 707, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

707. Плоскость разделяет объем шара на части, равные $252\pi$ и $720\pi$. Найдите, как относятся высоты соответствующих шаровых сегментов.

Пусть плоскость разделяет шар на два шаровых сегмента. Объемы этих сегментов равны $V_1 = 252\pi$ и $V_2 = 720\pi$.

1. Найдем общий объем шара, который равен сумме объемов его частей:

$V_{шара} = V_1 + V_2 = 252\pi + 720\pi = 972\pi$.

2. Используя формулу объема шара $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара, найдем этот радиус:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 972\pi$

$R^3 = \frac{972 \cdot 3}{4} = 243 \cdot 3 = 729$

$R = \sqrt[3]{729} = 9$.

3. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $h$ — высота сегмента. Пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты двух полученных сегментов. Для первого сегмента с объемом $V_1 = 252\pi$ имеем:

$\pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = 252\pi$

Подставим известное значение $R=9$ и разделим обе части уравнения на $\pi$:

$h_1^2 (9 - \frac{h_1}{3}) = 252$

$9h_1^2 - \frac{h_1^3}{3} = 252$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби, и перенесем все члены в одну сторону:

$27h_1^2 - h_1^3 = 756$

$h_1^3 - 27h_1^2 + 756 = 0$.

4. Решим полученное кубическое уравнение. Мы знаем, что сумма высот двух сегментов равна диаметру шара: $h_1 + h_2 = 2R = 18$. Следовательно, $0 < h_1 < 18$. Попробуем подобрать целый корень уравнения среди делителей числа 756. Проверим значение $h_1 = 6$:

$6^3 - 27 \cdot 6^2 + 756 = 216 - 27 \cdot 36 + 756 = 216 - 972 + 756 = 972 - 972 = 0$.

Значение $h_1 = 6$ является корнем уравнения.

5. Теперь найдем высоту второго сегмента $h_2$:

$h_2 = 18 - h_1 = 18 - 6 = 12$.

Проверим, соответствует ли объем второго сегмента с высотой $h_2=12$ заданному значению $V_2 = 720\pi$:

$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 12^2 (9 - \frac{12}{3}) = \pi \cdot 144 \cdot (9-4) = \pi \cdot 144 \cdot 5 = 720\pi$.

Расчет верен. Таким образом, высоты сегментов равны 6 и 12.

6. Найдем отношение высот соответствующих шаровых сегментов:

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Отношение высот составляет 1 к 2.

Ответ: 1:2.