Номер 710, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

710. В конус с образующей 17 см и радиусом основания 15 см вписан шар. Найдите отношение объемов частей шара, расположенных по разные стороны от плоскости, в которой находится линия касания.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Боковые стороны треугольника равны образующей конуса $L = 17$ см, а основание равно диаметру основания конуса $2R = 2 \cdot 15 = 30$ см. Высота конуса $H$ является также высотой этого треугольника.

Найдем высоту конуса $H$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ вписанного в конус шара (и вписанной в треугольник окружности) можно найти из подобия треугольников в осевом сечении. Пусть $AS$ - высота конуса, $O$ - центр вписанного шара (лежит на $AS$), $C$ - точка на окружности основания, $D$ - точка касания шара с образующей $AC$. Тогда треугольник $AOD$ подобен треугольнику $ASC$. Из подобия следует отношение $\frac{OD}{SC} = \frac{AO}{AC}$. Здесь $OD = r$, $SC = R = 15$, $AC = L = 17$, $AO = AS - OS = H - r = 8 - r$. Получаем уравнение:$\frac{r}{15} = \frac{8-r}{17}$$17r = 15(8-r) = 120 - 15r$$32r = 120$$r = \frac{120}{32} = \frac{15}{4}$ см.

Линия касания шара и боковой поверхности конуса представляет собой окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Эта плоскость делит шар на два шаровых сегмента. Найдем расстояние $d$ от центра шара до этой плоскости. Пусть $\beta$ - половина угла при вершине осевого сечения конуса (угол $OAD$). Из прямоугольного треугольника $ASC$ имеем:$\sin\beta = \frac{SC}{AC} = \frac{R}{L} = \frac{15}{17}$. В осевом сечении центр шара $O$ и точка касания $D$ лежат в одной плоскости. Радиус шара $OD=r$ перпендикулярен образующей $AC$. Плоскость касания перпендикулярна оси конуса $AS$; пусть $P$ - точка пересечения плоскости с осью. Треугольник $ODP$ - прямоугольный с гипотенузой $OD=r$. Расстояние от центра шара до плоскости касания есть $d=OP$. В прямоугольном треугольнике $AOD$ (с прямым углом при $D$), угол $AOD = 90^\circ - \beta$. Расстояние $d=OP$ является катетом в прямоугольном треугольнике $ODP$. Угол $DOP = 90^\circ - \beta$. Тогда $d = OP = OD \cos(\angle DOP) = r \cos(90^\circ - \beta) = r \sin\beta$. Подставляем значения:$d = \frac{15}{4} \cdot \frac{15}{17} = \frac{225}{68}$ см.

Секущая плоскость делит шар на два шаровых сегмента. Высоты этих сегментов равны $h_1 = r - d$ и $h_2 = r + d$.$r = \frac{15}{4} = \frac{15 \cdot 17}{4 \cdot 17} = \frac{255}{68}$ см.$h_1 = \frac{255}{68} - \frac{225}{68} = \frac{30}{68} = \frac{15}{34}$ см (высота меньшего сегмента).$h_2 = \frac{255}{68} + \frac{225}{68} = \frac{480}{68} = \frac{120}{17}$ см (высота большего сегмента).

Объем шарового сегмента высотой $h$ и радиусом шара $r$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$. Найдем отношение объемов двух сегментов $V_1$ и $V_2$:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi h_1^2(3r-h_1)}{\frac{1}{3}\pi h_2^2(3r-h_2)} = \frac{h_1^2(3r-h_1)}{h_2^2(3r-h_2)}$. Выразим множители $(3r-h)$ через $r$ и $d$:$3r - h_1 = 3r - (r-d) = 2r+d$.$3r - h_2 = 3r - (r+d) = 2r-d$. Тогда отношение объемов:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(r-d)^2(2r+d)}{(r+d)^2(2r-d)}$.

Подставим значения $r = \frac{255}{68}$ и $d = \frac{225}{68}$:$r-d = \frac{30}{68}$.$r+d = \frac{480}{68}$.$2r+d = 2\left(\frac{255}{68}\right) + \frac{225}{68} = \frac{510+225}{68} = \frac{735}{68}$.$2r-d = 2\left(\frac{255}{68}\right) - \frac{225}{68} = \frac{510-225}{68} = \frac{285}{68}$. Теперь вычислим отношение:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{(\frac{30}{68})^2(\frac{735}{68})}{(\frac{480}{68})^2(\frac{285}{68})} = \frac{30^2 \cdot 735}{480^2 \cdot 285} = \left(\frac{30}{480}\right)^2 \cdot \frac{735}{285} = \left(\frac{1}{16}\right)^2 \cdot \frac{15 \cdot 49}{15 \cdot 19} = \frac{1}{256} \cdot \frac{49}{19} = \frac{49}{4864}$. Искомое отношение объемов частей шара равно $49:4864$. Ответ: $\frac{49}{4864}$.