Номер 706, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

706. Докажите, что поверхность тела, образуемого при вращении квадрата вокруг стороны, равновелика поверхности шара, который имеет радиусом сторону квадрата (рис. 227).

Рис. 227

Для доказательства утверждения необходимо найти площади поверхностей двух тел: тела, образованного вращением квадрата вокруг своей стороны, и шара, радиус которого равен стороне этого квадрата, а затем сравнить полученные значения.

Пусть сторона квадрата равна $r$.

1. Нахождение площади поверхности тела вращения

При вращении квадрата со стороной $r$ вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата, то есть $h = r$. Радиус основания цилиндра $R$ также будет равен стороне квадрата, то есть $R = r$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади двух оснований $2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$. Подставив значения $R=r$ и $h=r$, получаем: $S_{бок} = 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Подставив $R=r$, получаем: $S_{осн} = \pi r^2$. Следовательно, площадь двух оснований равна $2S_{осн} = 2\pi r^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2$.

2. Нахождение площади поверхности шара

Согласно условию задачи, радиус шара равен стороне квадрата. Обозначим радиус шара как $R_{шара}$, тогда $R_{шара} = r$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2$. Подставив значение радиуса, получаем: $S_{шара} = 4\pi r^2$.

3. Сравнение и заключение

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что площадь поверхности цилиндра ($S_{цил} = 4\pi r^2$) равна площади поверхности шара ($S_{шара} = 4\pi r^2$).

$S_{цил} = S_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь поверхности тела, образованного вращением квадрата, равна $4\pi r^2$, и площадь поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата, также равна $4\pi r^2$.