Номер 704, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

704*. В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 12 и 30, боковые ребра пирамиды равны между собой, высота пирамиды равна 8. Четыре равных шара размещены так, что каждый из них касается плоскости основания, плоскости боковой грани и двух других шаров. Найдите радиус этих шаров, учитывая, что точки касания находятся на средних линиях параллелограмма.

Поскольку боковые ребра пирамиды равны между собой, ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Параллелограмм, вокруг которого можно описать окружность, является прямоугольником. Следовательно, в основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами $a=12$ и $b=30$. Высота пирамиды $H=8$.

Введем систему координат. Пусть центр прямоугольного основания находится в начале координат $(0,0,0)$, а его стороны параллельны осям. Тогда вершины основания находятся в точках $(\pm 15, \pm 6, 0)$, а вершина пирамиды — в точке $S(0,0,8)$. Средние линии прямоугольника лежат на осях координат.

Рассмотрим четыре равных шара радиуса $r$. Каждый шар касается плоскости основания, поэтому центры шаров находятся на высоте $r$ от плоскости основания, то есть их координаты имеют вид $(x_c, y_c, r)$. Условие "точки касания находятся на средних линиях параллелограмма" будем интерпретировать как то, что точки касания шаров с плоскостью основания лежат на средних линиях. Точка касания шара с плоскостью основания является проекцией его центра на эту плоскость. Таким образом, проекции центров шаров лежат на осях координат.

Из соображений симметрии, четыре шара расположены так, что каждый из них ассоциирован с одной из боковых граней. Пусть центр одного шара, $C_1$, проецируется на ось $OY$, а центр другого, $C_2$, — на ось $OX$. Тогда их координаты: $C_1(0, y_p, r)$ и $C_2(x_p, 0, r)$. Шары касаются друг друга, значит, расстояние между их центрами равно $2r$.

Расстояние между $C_1$ и $C_2$: $\sqrt{(x_p-0)^2 + (0-y_p)^2 + (r-r)^2} = \sqrt{x_p^2 + y_p^2}$.
Следовательно, $x_p^2 + y_p^2 = (2r)^2 = 4r^2$.

Теперь используем условие касания шаров с боковыми гранями. Центр шара, касающегося боковой грани и основания, должен лежать в плоскости, делящей пополам двугранный угол между этой гранью и основанием.

Рассмотрим боковую грань, проходящую через сторону $a=12$. Эта сторона лежит на прямой $y=6$. Двугранный угол $\beta$ при этом ребре основания определяется тангенсом угла наклона апофемы: $\tan \beta = \frac{H}{a/2} = \frac{8}{12/2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Координаты центра $C_1(0, y_p, r)$ связаны с радиусом $r$ через тангенс половины этого угла: $r = (6 - y_p) \tan(\beta/2)$. Из формулы тангенса двойного угла $\tan \beta = \frac{2\tan(\beta/2)}{1-\tan^2(\beta/2)}$, для $t = \tan(\beta/2)$ получаем уравнение $\frac{4}{3} = \frac{2t}{1-t^2}$, или $2t^2+3t-2=0$. Положительный корень этого уравнения $t=1/2$. Значит, $\tan(\beta/2) = 1/2$. Подставляя, получаем $r = (6-y_p) \cdot \frac{1}{2}$, откуда $y_p = 6 - 2r$.

Аналогично для боковой грани, проходящей через сторону $b=30$ (на прямой $x=15$). Двугранный угол $\alpha$ при этом ребре имеет тангенс $\tan \alpha = \frac{H}{b/2} = \frac{8}{30/2} = \frac{8}{15}$. Координаты центра $C_2(x_p, 0, r)$ связаны с радиусом $r$: $r = (15 - x_p) \tan(\alpha/2)$. Из уравнения $\frac{8}{15} = \frac{2t}{1-t^2}$, или $4t^2+15t-4=0$, находим положительный корень $t=1/4$. Значит, $\tan(\alpha/2) = 1/4$. Подставляя, получаем $r = (15-x_p) \cdot \frac{1}{4}$, откуда $x_p = 15 - 4r$.

Теперь у нас есть система уравнений:
1) $y_p = 6 - 2r$
2) $x_p = 15 - 4r$
3) $x_p^2 + y_p^2 = 4r^2$

Подставим выражения для $x_p$ и $y_p$ в третье уравнение:
$(15 - 4r)^2 + (6 - 2r)^2 = 4r^2$
$(225 - 120r + 16r^2) + (36 - 24r + 4r^2) = 4r^2$
$261 - 144r + 20r^2 = 4r^2$
$16r^2 - 144r + 261 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $r$:
$r = \frac{144 \pm \sqrt{144^2 - 4 \cdot 16 \cdot 261}}{2 \cdot 16} = \frac{144 \pm \sqrt{20736 - 16704}}{32} = \frac{144 \pm \sqrt{4032}}{32}$
$\sqrt{4032} = \sqrt{144 \cdot 28} = 12\sqrt{28} = 12 \cdot 2\sqrt{7} = 24\sqrt{7}$.
$r = \frac{144 \pm 24\sqrt{7}}{32} = \frac{18 \pm 3\sqrt{7}}{4}$.

Получили два возможных значения для радиуса. Однако центры шаров должны находиться внутри пирамиды, что накладывает ограничения: $x_p > 0$ и $y_p > 0$.
$15 - 4r > 0 \implies r < \frac{15}{4} = 3.75$.
$6 - 2r > 0 \implies r < 3$.
Следовательно, радиус шара должен быть меньше 3.

Проверим оба корня:
$r_1 = \frac{18 + 3\sqrt{7}}{4}$. Так как $\sqrt{7} > \sqrt{4}=2$, то $3\sqrt{7} > 6$, и $r_1 > \frac{18+6}{4} = 6$. Этот корень не подходит.
$r_2 = \frac{18 - 3\sqrt{7}}{4}$. Проверим, удовлетворяет ли он условию $r < 3$:
$\frac{18 - 3\sqrt{7}}{4} < 3 \iff 18 - 3\sqrt{7} < 12 \iff 6 < 3\sqrt{7} \iff 2 < \sqrt{7} \iff 4 < 7$.
Неравенство верное, значит, это решение нам подходит.

Ответ: $r = \frac{18 - 3\sqrt{7}}{4}$